fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

משפטי רציפות – משפט ערך הביניים – תרגיל 1059

תרגיל 

נתונה הפונקציה:

f(x)=\ln^2 x +\ln x -1

הוכיחו שיש לפונקציה לפחות פתרון ממשי אחד בקטע:

[\frac{1}{e},e]

הוכחה

הפונקציה רציפה על כל הישר, משום שהיא מורכבת מפונקציות אלמנטריות, בפרט בקטע הסגור:

[\frac{1}{e},e]

נבדוק את ערך הפונקציה בקצוות של הקטע:

f(\frac{1}{e})=\ln^2 \frac{1}{e} +\ln \frac{1}{e} -1=

=\ln^2 e^{-1} +\ln e^{-1} -1=

={(-\ln e)}^2 -\ln e -1=

={(-1)}^2 -1 -1=

=1 -1 -1=-1<0

f(e)=\ln^2 e +\ln e -1=

=1^2+1-1=1>0

קיבלנו שבקצה אחד הפונקציה חיובית ובקצה שני הפונקציה שלילית. ממשפט ערך הביניים נובע שקיימת נקודה c כך שמתקיים:

f(c)=0

וזה הפתרון המבוקש.

מ.ש.ל.

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור. 
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה