fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

משפטי רציפות – משפט ערך הביניים – תרגיל 5878

תרגיל 

נתונה המשוואה:

x^4+3x+1=0

הוכיחו שיש למשוואה לפחות פתרון ממשי אחד בקטע:

-2\leq x\leq -1

הוכחה

נגדיר פונקציה:

f(x)=x^4+3x+1

הפונקציה שהגדרנו היא פולינום, ולכן רציפה על כל הישר, בפרט בקטע הסגור:

[-2,-1]

מכיוון שהפונקציה היא פולינום ממעלה רביעית, אי-אפשר להשתמש בנוסחת השורשים למציאת הפתרונות של הפולינום. לכן, נשתמש במשפט ערך הביניים. המשפט יכול לעזור לנו לגלות אם קיים שורש (או פתרון) לפולינום בקטע סגור נתון, אבל אינו יכול לומר לנו מהו במדויק.

נבדוק את ערך הפונקציה בקצוות של הקטע:

f(-2)={(-2)}^4+3\cdot (-2)+1=

=16-6+1=11>0

f(-1)={(-1)}^4+3\cdot (-1)+1=

=1-3+1=-1<0

קיבלנו שבקצה אחד הפונקציה חיובית ובקצה שני הפונקציה שלילית. ממשפט ערך הביניים נובע שקיימת נקודה c כך שמתקיים:

f(c)=0

וזה הפתרון המבוקש.

מ.ש.ל.

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור.
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה