fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

משפטי רציפות – משפט ערך הביניים – תרגיל 1033

תרגיל 

נתון שפונקציה: 

f(x)

רציפה על כל הישר ומקיימת:

\lim _ { x \rightarrow \infty}f(x)=-7

f(2)=5

הוכיחו שקיימת לפחות נקודה אחת, המקיימת:

f(a)=a

הוכחה

נתבונן בנתונים. נתון לנו שהפונקציה רציפה, וכן מתקיים:

f(2)>0

וגם

\lim _ { x \rightarrow \infty}f(x)<0

הפונקציה רציפה, הערך שלה בנקודה 2 חיובי ובאינסוף שלילי, לכן בהכרח קיימת נקודה b גדולה מ-2:

b>2

כך שמתקיים:

f(b)<0

מכאן, ממשפט ערך הביניים נובע שקיימת נקודה c בין 2 ל-b:

2<c<b

כך שמתקיים:

f(c)=0

כעת נגדיר פונקציה:

g(x)=f(x)-x

הפונקציה רציפה בקטע:

[2,c]

נשים לב שהפונקציה שהגדרנו מקיימת:

g(2)=f(2)-2=5-2=3>0

g(c)=f(c)-c=0-c=-c<0

נשתמש שוב במשפט ערך הביניים ונקבל שקיימת נקודה a בין 2 ל-c:

2<a<c

כך שמתקיים:

g(a)=0

נציב בפונקציה ונקבל:

f(a)-a=0

נעביר אגף ונקבל:

f(a)=a

מ.ש.ל.

פתרון מפורט בוידאו


עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור. 
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה