fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

משפטי רציפות – משפט ערך הביניים – תרגיל 1040

תרגיל 

נתון שפונקציה: 

f(x)

רציפה על כל הישר ומקיימת:

|f(x)|\leq 4

לכל x ממשי.

הוכיחו שלמשוואה:

2x = 8- f(x)

יש לפחות פתרון ממשי אחד.

הוכחה

נגדיר פונקציה:

g(x)=2x+f(x)-8

הפונקציה רציפה על כל הישר, בפרט בקטע:

[0,8]

נשים לב שמתקיים:

g(0)=2\cdot 0+f(0)-8=f(0)-6

אבל לפי הנתון לכל x ממשי מתקיים:

f(x) \leq 4

לכן, מקבלים:

f(0)-6 \leq 4-6=-2<0

נבדוק בצד השני:

g(8)=2\cdot 8+f(8)-8=

=16+f(8) -8 = 8+f(8)

שוב, מהנתון נובע שלכל x ממשי מתקיים:

f(x) \geq -4

ולכן, מקבלים:

8+f(8)\geq 8-4=4>0

לכן ממשפט ערך הביניים נובע שקיימת נקודה c בין 0 ל-8:

0<c<8

כך שמתקיים:

g(c)=0

כלומר, c הוא הפתרון המבוקש.

מ.ש.ל.

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור. 
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה