fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

משפטי רציפות – משפט ערך הביניים – תרגיל 6900

תרגיל 

נתונה המשוואה:

\frac{x^5}{5}+x^3+2x=6

הוכיחו שיש למשוואה לפחות פתרון ממשי אחד.

הוכחה

נתונה המשוואה:

\frac{x^5}{5}+x^3+2x=6

נעביר את כל האיברים לאגף אחד:

\frac{x^5}{5}+x^3+2x-6=0

נגדיר פונקציה:

f(x)=\frac{x^5}{5}+x^3+2x-6

הפונקציה שהגדרנו היא פולינום, ולכן רציפה על כל הישר.

מכיוון שהפונקציה היא פולינום ממעלה חמישית, אי-אפשר להשתמש בנוסחת השורשים למציאת הפתרונות של הפולינום. לכן, נשתמש במשפט ערך הביניים. המשפט יכול לעזור לנו לגלות אם קיים שורש (או פתרון) לפולינום בקטע סגור נתון, אבל אינו יכול לומר לנו מהו במדויק.

מכיוון שאין לנו תחום סגור, אפשר לפתור בשתי דרכים.

דרך אחת, נגזור את הפונקציה, כדי לבדוק אם יש נקודות קיצון מקומיות:

f'(x)=\frac{1}{5}\cdot 5x^4+3x^2+2=0

נציב:

t=x^2

ונקבל:

t^2+3t+2=0

נפרק בעזרת נוסחת השורשים ונקבל:

t=-1, t=-2

נחזור למשתנה המקורי:

-1=x^2

אין פתרון ממשי. ננסה את הפתרון השני:

-2=x^2

שוב קיבלנו שאין פתרון ממשי.

מכאן, אין נקודות קיצון מקומי. אפשר לראות שהנגזרת תמיד חיובית:

f'(x)=x^4+3x^2+2>0

כלומר, הפונקציה מונוטונית עולה לכל x.

נחשב את הגבולות בקצות תחום ההגדרה:

\lim_{x\rightarrow \infty}f(x)=

=\lim_{x\rightarrow \infty} \frac{x^5}{5}+x^3+2x-6=

נציב ונקבל:

=\frac{\infty^5}{5}+\infty^3+2\cdot\infty-6=\infty

נחשב את הגבול בקצה השני:

\lim_{x\rightarrow -\infty}f(x)=

=\lim_{x\rightarrow -\infty} \frac{x^5}{5}+x^3+2x-6=

נציב ונקבל:

=\frac{-\infty^5}{5}-\infty^3+2\cdot (-\infty)-6=-\infty

קיבלנו שבקצה אחד הפונקציה חיובית ובקצה שני – שלילית. מכיוון שהפונקציה רציפה לכל x, בהכרח יש לפונקציה פתרון אחד. וזה הפתרון המבוקש.

דרך שנייה, נציב מספרים כלשהם עד שנגיע לתחום סגור שבו בקצה אחד הפונקציה חיובית ובקצה שני היא שלילית. למשל, נציב x=0 ונקבל:

f(0)=\frac{0^5}{5}+0^3+2\cdot 0-6=-6

קיבלנו תוצאה שלילית, לכן נחפש מספר שייתן תוצאה חיובית, למשל

f(10)=\frac{10^5}{5}+10^3+2\cdot 10-6>0

קיבלנו שבתחום הסגור:

[0,10]

בקצה אחד הפונקציה חיובית ובקצה שני הפונקציה שלילית. מכיוון שהפונקציה רציפה לכל x, ובפרט בתחום הסגור, ממשפט ערך הביניים נובע שקיימת נקודה c כך שמתקיים:

f(c)=0

וזה הפתרון המבוקש.

מ.ש.ל.

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור.
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה