איך ללמוד ולהצליח בקורס חדו"א?

מספרים רציונליים – הוכחה ששורש 2 ועוד שורש 3 אי-רציונלי – תרגיל 10937

תרגיל 

הוכיחו כי

\sqrt{2}+\sqrt{3}\notin Q

כלומר, שהוא אי-רציונלי.

פתרון מפורט

[pms-restrict subscription_plans=”7824,7825,7826,7907″]

הוכחה 1

נניח בשלילה שהמספר

\sqrt{2}+\sqrt{3}

רציונלי.

אז קיימים מספרים m,n טבעיים (=שלמים חיוביים) כך שמתקיים:

\sqrt{2}+\sqrt{3}=\frac{m}{n}

נעלה בריבוע ונקבל:

(\sqrt{2}+\sqrt{3})^2=\frac{m^2}{n^2}

נפתח סוגריים בעזרת נוסחת כפל מקוצר (מעלה שנייה, נוסחה ראשונה) ונקבל:

2+2\sqrt{2}\sqrt{3}+3=\frac{m^2}{n^2}

נסדר ונקבל את המשוואה:

2\sqrt{2}\sqrt{3}=\frac{m^2}{n^2}-5

2\sqrt{2}\sqrt{3}=\frac{m^2-5n^2}{n^2}

\sqrt{2}\sqrt{3}=\frac{m^2-5n^2}{2n^2}

בעזרת חוקי חזקות ושורשים נקבל:

\sqrt{6}=\frac{m^2-5n^2}{2n^2}

הביטוי שקיבלנו באגף ימין הוא מספר רציונלי, כי הוא מנה של מספרים שלמים. לכן, קיימים מספרים a,b שלמים וזרים כך שמתקיים:

\sqrt{6}=\frac{a}{b}

נעלה בריבוע ונקבל:

6=\frac{a^2}{b^2}

נעביר אגף ונקבל את המשוואה:

6b^2=a^2

מכאן,

a^2

מתחלק ב-6. לכן, גם a מתחלק ב-6. כלומר, קיים קבוע c כך שמתקיים:

a=6c

נציב את זה במשוואה לעיל ונקבל:

6b^2=(6c)^2

6b^2=36c^2

b^2=6c^2

באופן דומה, מקבלים ש-b מתחלק ב-6.

קיבלנו שגם a וגם b מתחלקים ב-6 וזו סתירה! כי הנחנו שהם זרים.

מ.ש.ל.

הוכחה 2

נניח בשלילה שהמספר

\sqrt{3}+\sqrt{2}

רציונלי. אז מכיוון שמתקיים:

(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})=1

נקבל שגם

\sqrt{3}-\sqrt{2}

רציונלי.

הסבר: עבור

a\cdot b=\pm 1

מתקיים a,b רציונליים או a,b אי-רציונליים (שניהם אותו דבר).

ומכיוון ששניהם רציונלים, אז גם החיבור שלהם רציונלי, כלומר

(\sqrt{3}+\sqrt{2})+(\sqrt{3}-\sqrt{2})=2\sqrt{3}

מכיוון ש-2 רציונלי, אז גם

\sqrt{3}

רציונלי.

הסבר: אם a וגם ab רציונליים, אז b רציונלי.

הגענו לסתירה! כי הוכחנו כאן שהוא אי-רציונלי.

[/wcm_restrict]

עזרתי לך להבין את החומר? מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? כתב/י תגובה למטה ואשמח לענות 🙂

כדאי ללמוד ביחד - שתפו עכשיו

כתיבת תגובה