fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

משוואות – פתרון משוואה מעריכית – תרגיל 1687

תרגיל 

פתרו את המשוואה:

4^{x-1}+2^{x-2}=68

תשובה סופית


x=4

פתרון

4^{x-1}+2^{x-2}=68

ננסה להגיע לבסיס זהה בשני האיברים, כדי להגדיר משתנה חדש. לשם כך, ניעזר בחוקי חזקות:

2^{2(x-1)}+2^{x-1-1}=68

{(2^{x-1})}^2+2^{x-1}\cdot 2^{-1}=68

כעת, נגדיר משתנה חדש:

y=2^{x-1}

נציב את המשתנה החדש:

y^2+y\cdot\frac{1}{2}=68

קיבלנו משוואה ריבועית. נסדר אותה:

y^2+\frac{1}{2} y-68=0

נכפול את המשוואה ב-2:

2y^2+y-136=0

מקדמי המשוואה שלנו הם

a=2, b=1, c=-136

נפתור את המשוואה בעזרת נוסחת השורשים. נציב את המקדמים בנוסחה:

y_{1,2}=\frac{-1\pm \sqrt{1^2-4\cdot 2\cdot (-136)}}{2\cdot 2}=

=\frac{-1\pm \sqrt{1089}}{4}=

=\frac{-1\pm 33}{4}

מכאן

y_1=\frac{-1+ 33}{4}=\frac{32}{4}=8

y_2=\frac{-1- 33}{4}=\frac{-34}{4}=-8.5

נחזור למשתנה המקורי. מהפתרון הראשון נקבל

y=8, y=2^{x-1}

8=2^{x-1}

2^3=2^{x-1}

הבסיסים שווים, ולכן גם החזקות:

3=x-1

4=x

מהפתרון השני נקבל

y=-8.5, y=2^{x-1}

-8.5=2^{x-1}

למשוואה זו אין פתרון ממשי, כי אגף שמאל שלילי, ואילו אגף ימין חיובי לכל x.

מכאן, הפתרון היחיד של המשוואה הוא

x=4

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור. 
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה