תרגיל
פתרו את האי-שוויון:
8(1-2x)<{(2x-3)}^2
תשובה סופית
פתרון מפורט
8(1-2x)<{(2x-3)}^2
נפתח את הסוגריים:
8-16x< 4x^2-12x+9
נעביר הכל לאגף אחד:
0<-8+16x+ 4x^2-12x+9
0<4x^2+4x+1
קיבלנו אי-שוויון ריבועי. המקדמים שלו הם
a=4, b=4, c=1
המקדם של האיבר הריבועי (a) חיובי, ולכן הפרבולה (גרף המשוואה הריבועית) מחייכת (=בצורת קערה). מסימן האי-שוויון צריכים לבדוק עבור אלו x-ים הפרבולה חיובית, כלומר מעל ציר x. נמצא את הפתרונות (=אפסים=שורשים) של המשוואה הריבועית בעזרת נוסחת השורשים. נציב את המקדמים בנוסחה:
x_{1,2}=\frac{-4\pm \sqrt{4^2-4\cdot 4\cdot 1}}{2\cdot 4}=
=\frac{-4\pm \sqrt{0}}{8}=
=\frac{-4}{8}=-\frac{1}{2}
מכאן פירוק המשוואה לגורמים הוא
4x^2+4x+1={(x+\frac{1}{2})}^2
כלומר האי-שוויון שלנו הוא
{(x+\frac{1}{2})}^2>0
אגף שמאל הוא איבר בריבוע ואיבר ריבועי תמיד גדול מאפס, חוץ מבנקודה שבה הוא אפס. נבדוק מתי הוא שווה לאפס:
x+\frac{1}{2}=0
x=-\frac{1}{2}
לכן, האי-שוויון מתקיים לכל x, חוץ מנקודה זו.
במילים אחרות, האי-שוויון מתקיים לכל
x\neq-\frac{1}{2}
עזרתי לך להבין את החומר? מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? כתב/י תגובה למטה ואשמח לענות 🙂
