fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

אסימפטוטות – פונקציה עם פרמטרים – תרגיל 2253

תרגיל 

נתון שהישרים x=1 וגם y=2 הם אסימפטוטות של הפונקציה:

f(x)=\frac{kx^2-5x+3}{mx^2-k+4}

מצאו את הפרמטרים m,k ובדקו אם יש לפונקציה אסימפטוטות נוספות.

תשובה סופית


m=4, k=8, x=-1

פתרון

נתון שהישר x=1 הוא אסימפטוטה, לכן זו נקודת אי-רציפות של הפונקציה, כי היא מאפסת את המכנה. זה אומר שהנקודה הזו היא שורש של המכנה, ולכן אם נחלק את המכנה בגורם x-1 נקבל חלוקה ללא שארית. חילוק ארוך מניב את התוצאה:

mx^2-k+4=(mx+m)(x-1)

ואת השארית נשווה לאפס:

-k+m+4=0

m-k=-4

קיבלנו משוואה עם שני הפרמטרים. ננסה למצוא משוואה נוספת. נתון שהישר y=2 הוא אסימפטוטה של הפונקציה. לכן, בחישוב אסימפטוטה משופעת, המקדם של x יהיה אפס, והאיבר החופשי יהיה 2. נחשב את האיסמפטוטה המשופעת ונשווה לתוצאות אלו.

0=a=\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{f(x)}{x}=

=\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{kx^2-5x+3}{mx^3-kx+4x}=

נחלק מונה ומכנה באיבר

x^2

ונקבל:

=\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{k-\frac{5}{x}+\frac{3}{x^2}}{mx-\frac{k}{x}+\frac{4}{x}}=

=\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{k}{mx}=0

באופן דומה:

2=b=\lim_{x \rightarrow \infty} f(x)-ax=

=\lim_{x \rightarrow \infty} f(x)-0\cdot x=

=\lim_{x \rightarrow \infty} f(x)=

=\lim_{x \rightarrow \infty}\frac{kx^2-5x+3}{mx^2-k+4}=

שוב נחלק מונה ומכנה באותו איבר, ונקבל:

=\lim_{x \rightarrow \infty}\frac{k-\frac{5}{x}+\frac{3}{x^2}}{m-\frac{k}{x}+\frac{4}{x^2}}=\frac{k}{m}

קיבלנו את המשוואה:

2=\frac{k}{m}

k=2m

קיבלנו שתי משוואות בשני נעלמים:

m-k=-4

k=2m

נציב את המשוואה השנייה במשוואה הראשונה:

m-2m=-4

-m=-4

m=4

נציב את התוצאה במשוואה הראשונה:

k=2\cdot 4

k=2\cdot 4

k=8

נציב את הפרמטרים בפונקציה ונקבל:

f(x)=\frac{8x^2-5x+3}{4x^2-8+4}=

נפרק את הפולינום במכנה לגורמים ונקבל:

=\frac{8x^2-5x+3}{4(x+1)(x-1)}

כעת, רואים שיש לפונקציה שתי נקודות אי-רציפות (מאפסות את המכנה): x=-1, x=1. הנקודה x=1 הופיעה בנתונים של השאלה, לכן נותר לבדוק אם הנקודה x=-1 היא גם אסימפטוטה אנכית של הפונקציה. לשם כך, נחשב את הגבולות החד-צדדיים לנקודה:

\lim_{x \rightarrow -1^{-}} f(x)=

=\lim_{x \rightarrow -1^{-}} \frac{8x^2-5x+3}{4x^2-8+4}=

נציב את הנקודה ונקבל:

=\frac{8{(-1)}^2-5\cdot (-1)+3}{4{(-1)}^2-8+4}=\frac{16}{0^{+}}=\infty

נחשב את הגבול מהצד השני:

\lim_{x \rightarrow -1^{+}} f(x)=

=\lim_{x \rightarrow -1^{+}} \frac{8x^2-5x+3}{4x^2-8+4}=

נציב את הנקודה ונקבל:

=\frac{8{(-1)}^2-5\cdot (-1)+3}{4{(-1)}^2-8+4}=\frac{16}{0^{-}}=-\infty

הגבולות החד-צדדיים אינסופיים. מכאן, גם הישר x=-1 הוא אסימפטוטה של הפונקציה.

הנה גרף הפונקציה:

תרגיל 1 - אסימפטוטות

הפונקציה בירוק והאסימפטוטות (האנכיות והאופקית) באדום. שימו לב שבצד אחד הפונקציה שואפת לאסימפטוטה האופקית מלמטה, ובצד שני – מלמעלה.

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור. 
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה