fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

אסימפטוטות – חישוב אסימפטוטות לפונקציה רציונלית (מנה של פולינומים) – תרגיל 6859

תרגיל 

מצאו את האסימפטוטות של הפונקציה:

y=\frac{x+2}{2x-3}

תשובה סופית

x=\frac{3}{2}, y=\frac{1}{2}

 

פתרון

האסימפטוטות מתארות את התנהגות הפונקציה בקצות תחום ההגדרה שלה. לכן, ראשית נמצא את תחום ההגדרה של הפונקציה. מכיוון שיש מכנה, נדרוש שהביטוי במכנה יהיה שונה מאפס:

2x-3\neq 0

2x\neq 3

x\neq \frac{3}{2}

מכאן, המשוואה:

x= \frac{3}{2}

יכולה להיות אסימפטוטה אנכית של הפונקציה. כדי לבדוק זאת, נחשב את הגבולות החד-צדדיים לנקודה זו. 

נחשב את הגבול החד-צדדי מימין:

\lim _ { x \rightarrow {\frac{3}{2}}^{+}}f(x)=

=\lim _ { x \rightarrow {\frac{3}{2}}^{+}}\frac{x+2}{2x-3}=

נציב ונקבל:

=\frac{{\frac{3}{2}}^{+}+2}{2\cdot {\frac{3}{2}}^{+}-3}=

=\frac{\frac{7}{2}}{0^{+}}=\infty

נחשב את הגבול החד-צדדי משמאל:

\lim _ { x \rightarrow {\frac{3}{2}}^{-}}f(x)=

=\lim _ { x \rightarrow {\frac{3}{2}}^{-}}\frac{x+2}{2x-3}=

נציב ונקבל:

=\frac{{\frac{3}{2}}^{-}+2}{2\cdot {\frac{3}{2}}^{-}-3}=

=\frac{\frac{7}{2}}{0^{-}}=-\infty

שימו לב שבשני הגבולות קיבלנו בהצבה אפס במכנה, אך זה אינו אפס מוחלט, אלא שאיפה לאפס (מימין ומשמאל) וכיוון השאיפה קבע את הסימן של המספר (המאוד קטן ושואף לאפס) במכנה.

קיבלנו גבולות אינסופיים, ולכן יש לפונקציה אסימפטוטה אנכית בנקודה:

x= \frac{3}{2}

כעת, נבדוק אם יש לפונקציה אסימפטוטה משופעת – נחפש אסימפטוטה y=ax+b בסביבת האינסוף כך:

a=\lim _ { x \rightarrow \infty} \frac{f(x)}{x}=

=\lim _ { x \rightarrow \infty} \frac{\frac{x+2}{2x-3}}{x}=

=\lim _ { x \rightarrow \infty} \frac{x+2}{x(2x-3)}=

=\lim _ { x \rightarrow \infty} \frac{x+2}{2x^2-3x}=

נחלק מונה ומכנה באיבר בעל החזקה הגבוהה ביותר, ללא המקדם:

=\lim _ { x \rightarrow \infty} \frac{\frac{x+2}{x^2}}{\frac{2x^2-3x}{x^2}}=

=\lim _ { x \rightarrow \infty} \frac{\frac{1}{x}+\frac{2}{x^2}}{2-\frac{3}{x}}=

נציב אינסוף ונקבל:

= \frac{\frac{1}{\infty}+\frac{2}{\infty^2}}{2-\frac{3}{\infty}}=

= \frac{0+0}{2-0}=0

קיבלנו a=0. מכיוון שהוא סופי, נמשיך לחשב את b:

b=\lim _ { x \rightarrow \infty} f(x)-ax=

=\lim _ { x \rightarrow \infty}\frac{x+2}{2x-3}-0\cdot x=

=\lim _ { x \rightarrow \infty}\frac{x+2}{2x-3}=

נחלק מונה ומכנה באיבר בעל החזקה הגבוהה ביותר, ללא המקדם:

=\lim _ { x \rightarrow \infty}\frac{\frac{x+2}{x}}{\frac{2x-3}{x}}=

=\lim _ { x \rightarrow \infty}\frac{1+\frac{2}{x}}{2-\frac{3}{x}}=

נציב אינסוף ונקבל:

=\frac{1+\frac{2}{\infty}}{2-\frac{3}{\infty}}=

=\frac{1+0}{2-0}=\frac{1}{2}

מכיוון שגם a וגם b סופיים, יש איסמפטוטה משופעת בסביבת אינסוף והיא

y=ax+b=0\cdot x +\frac{1}{2}=\frac{1}{2}

y=\frac{1}{2}

נבדוק את התנהגות הפונקציה בצד השני. נחפש אסימפטוטה y=ax+b בסביבת מינוס אינסוף כך:

a=\lim _ { x \rightarrow -\infty} \frac{f(x)}{x}=

=\lim _ { x \rightarrow -\infty} \frac{\frac{x+2}{2x-3}}{x}=

=\lim _ { x \rightarrow -\infty} \frac{x+2}{x(2x-3)}=

=\lim _ { x \rightarrow- \infty} \frac{x+2}{2x^2-3x}=

נחלק מונה ומכנה באיבר בעל החזקה הגבוהה ביותר, ללא המקדם:

=\lim _ { x \rightarrow -\infty} \frac{\frac{x+2}{x^2}}{\frac{2x^2-3x}{x^2}}=

=\lim _ { x \rightarrow -\infty} \frac{\frac{1}{x}+\frac{2}{x^2}}{2-\frac{3}{x}}=

נציב מינוס אינסוף ונקבל:

= \frac{\frac{1}{-\infty}+\frac{2}{{(-\infty)}^2}}{2-\frac{3}{-\infty}}=

= \frac{0+0}{2-0}=0

קיבלנו a=0. מכיוון שהוא סופי, נמשיך לחשב את b:

b=\lim _ { x \rightarrow -\infty} f(x)-ax=

=\lim _ { x \rightarrow -\infty}\frac{x+2}{2x-3}-0\cdot x=

=\lim _ { x \rightarrow -\infty}\frac{x+2}{2x-3}=

נחלק מונה ומכנה באיבר בעל החזקה הגבוהה ביותר, ללא המקדם:

=\lim _ { x \rightarrow -\infty}\frac{\frac{x+2}{x}}{\frac{2x-3}{x}}=

=\lim _ { x \rightarrow -\infty}\frac{1+\frac{2}{x}}{2-\frac{3}{x}}=

נציב מינוס אינסוף ונקבל:

=\frac{1+\frac{2}{-\infty}}{2-\frac{3}{-\infty}}=

=\frac{1+0}{2-0}=\frac{1}{2}

מכיוון שגם a וגם b סופיים, יש איסמפטוטה משופעת בסביבת מינוס אינסוף והיא

y=ax+b=0\cdot x +\frac{1}{2}=\frac{1}{2}

y=\frac{1}{2}

והנה גרף הפונקציה שלנו:

הגרף בצבע אדום, האסימפטוטה האנכית בצבע ירוק והאסימפטוטה המשופעת בצבע כחול.

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור.
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה