fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

אסימפטוטות – פונקציה עם sec – תרגיל 2267

תרגיל 

מצאו אסימפטוטות לפונקציה

f(x)=\sec (2x)

תשובה סופית


x=\frac{(2n+1)\pi}{4}

פתרון

לפי הגדרת הפונקציה הטריגונומטרית:

f(x)=\sec (2x)=\frac{1}{\cos (2x)}

הנקודות החשודות לאסימפטוטות אנכיות הן הנקודות שמאפסות את המכנה:

\cos (2x)=0

נשים לב שהפונקציה

\cos x

היא פונקציה מחזורית, המתאפסת כל פאי, והנקודה הראשונה שהיא מתאפסת בה אחרי הראשית היא חצי פאי. לכן, 

2x=\frac{\pi}{2}+\pi k

כאשר k מספר שלם. כך אנו מקבלים את כל אינסוף הנקודות, שבהן הפונקציה מתאפסת, אחרי ולפני הנקודה חצי פאי. נסדר את הביטוי:

2x=\frac{\pi+2\pi k}{2}=\frac{\pi(1+2k)}{2}

נבודד את x:

x=\frac{\pi+2\pi k}{2}=\frac{\pi(1+2k)}{4}

נבדוק אם יש בנקודות אלה אסימפטוטה אנכית. מכיוון שהפונקציה מחזורית, מספיק לבדוק נקודה אחת. ניקח n=0 ונקבל את הנקודה:

x=\frac{\pi}{4}

נחשב את הגבולות החד-צדדיים לנקודה זו:

=\lim_{x \rightarrow {\frac{\pi}{4}}^{+}}\frac{1}{\cos (2x)}=\infty

=\lim_{x \rightarrow {\frac{\pi}{4}}^{-}}\frac{1}{\cos (2x)}=-\infty

הגבולות החד-צדדיים אינסופיים, ולכן יש אינסוף אסימפטוטות אנכיות בכל הנקודות שמאפסות את המכנה.

משום שהפונקציה מחזורית עם אינסוף נקודות אינסופיות, לא יכולה להיות לה אסימפטוטה משופעת.

והנה גרף הפונקציה:

תרגיל 2 - אסימפטוטות

הפונקציה בירוק והאסימפוטוטות באדום.

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור. 
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה