fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

סכום רימן – תרגיל 2311

תרגיל 

חשבו את הגבול:

\lim_{n \rightarrow \infty}\sum_{k=1}^n (\frac{12}{n}+\frac{8k}{n^2})

תשובה סופית


\lim_{n \rightarrow \infty}\sum_{k=1}^n (\frac{12}{n}+\frac{8k}{n^2})=16

פתרון

נרצה להשתמש בנוסחה של סכום רימן. נבחר את הקטע:

[0,1]

ונחלק אותו ל-n חלקים שווים. אורך כל תת-קטע יהיה

\Delta x_k=\frac{1-0}{n}=\frac{1}{n}

ראשית, ננסה להוציא מהביטוי בשאלה את אורך תתי-הקטעים שלנו:

\lim_{n \rightarrow \infty}\sum_{k=1}^n (\frac{12}{n}+\frac{8k}{n^2})=

=\lim_{n \rightarrow \infty}\sum_{k=1}^n (12+\frac{8k}{n})\cdot \frac{1}{n}=

כעת, אנו צריכים להגדיר משתנה לפי n,k כך שלכל k המקיים:

1\leq k\leq n

הנקודה תהיה בקטע ה-k-י המתאים. נגדיר:

x_k=\frac{k}{n}

נקודה בכל תת-קטע בחלוקה שלנו. שימו לב שהנקודות בקצות תתי-הקטעים, וזה בסדר.

כעת, ננסה שהמשתנים בתרגיל יופיעו רק כמו הנקודה שבחרנו, כלומר

x_k=\frac{k}{n}

בתרגיל שלנו זה כבר מסודר, לכן נציב את המשתנים של סכום רימן:

=\lim_{n \rightarrow \infty}\sum_{k=1}^n (12+8x_k)\cdot \Delta x_k=

נגדיר פונקציה כמו הביטוי בתרגיל, אבל נקרא למשתנה x:

f(x)=12+8x

נציב את הפונקציה ונקבל:

=\lim_{n \rightarrow \infty}\sum_{k=1}^n f(x_k)\cdot \Delta x_k=

ומהגדרת סכום רימן נובע השוויון:

=\int_0^1 (12+8x)dx=

כלומר, במקום לחשב גבול מסובך, נחשב אינטגרל מיידי ופשוט. נפתור אותו:

=[12x+\frac{8x^2}{2}]_0^1=

נציב את גבולות האינטגרציה, עליון פחות תחתון, ונקבל:

=(12\cdot 1+\frac{8\cdot 1^2}{2})-(12\cdot 0+\frac{8\cdot 0^2}{2})=16-0=16

פתרון מפורט בוידאו

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור. 
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה