fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

סכום רימן – תרגיל 2322

תרגיל 

חשבו את הגבול:

\lim_{n \rightarrow \infty}\sum_{k=1}^n {(\frac{n+k}{n\sqrt{n}})}^2

תשובה סופית


\lim_{n \rightarrow \infty}\sum_{k=1}^n {(\frac{n+k}{n\sqrt{n}})}^2=\frac{7}{3}

פתרון

נרצה להשתמש בנוסחה של סכום רימן. נבחר את הקטע:

[0,1]

ונחלק אותו ל-n חלקים שווים. אורך כל תת-קטע יהיה

\Delta x_k=\frac{1-0}{n}=\frac{1}{n}

ראשית, ננסה להוציא מהביטוי בשאלה את אורך תתי-הקטעים שלנו:

\lim_{n \rightarrow \infty}\sum_{k=1}^n {(\frac{n+k}{n\sqrt{n}})}^2=

=\lim_{n \rightarrow \infty}\sum_{k=1}^n \sum_{k=1}^n \frac{{(n+k)}^2}{{(n\sqrt{n})}^2}=

=\lim_{n \rightarrow \infty}\sum_{k=1}^n \sum_{k=1}^n \frac{{(n+k)}^2}{n^3}=

=\lim_{n \rightarrow \infty}\sum_{k=1}^n \sum_{k=1}^n \frac{{(n+k)}^2}{n^2}\frac{1}{n}=

=\lim_{n \rightarrow \infty}\sum_{k=1}^n \sum_{k=1}^n {(\frac{n+k}{n})}^2\frac{1}{n}=

כעת, אנו צריכים להגדיר משתנה לפי n,k כך שלכל k המקיים:

1\leq k\leq n

הנקודה תהיה בקטע ה-k-י המתאים. נגדיר:

x_k=\frac{k}{n}

נקודה בכל תת-קטע בחלוקה שלנו. שימו לב שהנקודות בקצות תתי-הקטעים, וזה בסדר.

כעת, ננסה שהמשתנים בביטוי שנותר יופיעו רק כמו הנקודה שבחרנו, כלומר

x_k=\frac{k}{n}

לשם כך, נחלק מונה ומכנה ב-n ונקבל:

=\lim_{n \rightarrow \infty}\sum_{k=1}^n{(\frac{1+\frac{k}{n}}{1})}^2\frac{1}{n}=

נציב את המשתנים של סכום רימן:

=\lim_{n \rightarrow \infty}\sum_{k=1}^n{(1+x_k)}^2\cdot \Delta x_k=

נגדיר פונקציה כמו הביטוי בתרגיל, אבל נקרא למשתנה x:

f(x)= {(1+x)}^2

נציב את הפונקציה ונקבל:

=\lim_{n \rightarrow \infty}\sum_{k=1}^n f(x_k)\cdot \Delta x_k=

ומהגדרת סכום רימן נובע השוויון:

=\int_0^1 {(1+x)}^2dx=

כלומר, במקום לחשב גבול מסובך, נחשב אינטגרל פשוט. נפתור אותו בעזרת נוסחת האינטגרציה המתאימה:

=[\frac{{(1+x)}^3}{3}]_0^1=

שימו לב שנעזרנו בכלל השלישי בכללי האינטגרציה. יכולנו לעשות זאת רק משום שהפונקציה הפנימית לינארית. נציב את גבולות האינטגרציה, עליון פחות תחתון, ונקבל:

=(\frac{{(1+1)}^3}{3})-(\frac{{(1+0)}^3}{3})=

=(\frac{8}{3})-(\frac{1}{3})=\frac{7}{3}

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור. 
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה