fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

סכום רימן – תרגיל 2330

תרגיל 

חשבו את הגבול:

\lim_{n \rightarrow \infty}\sum_{k=1}^n\frac{4}{n}\sqrt{\frac{2(2k-1)}{n}}

תשובה סופית


\lim_{n \rightarrow \infty}\sum_{k=1}^n\frac{4}{n}\sqrt{\frac{2(2k-1)}{n}}=\frac{16}{3}

פתרון

נרצה להשתמש בנוסחה של סכום רימן. נבחר את הקטע:

[0,2]

ונחלק אותו ל-n חלקים שווים. אורך כל תת-קטע יהיה

\Delta x_k=\frac{2-0}{n}=\frac{2}{n}

לא בחרנו הפעם קטע באורך אחד (כמו ברוב התרגילים), כי זה היה גורר חישוב יותר מסובך. לו היינו בוחרים אותו, היינו מסתבכים יותר בבחירת הגדרה למשתנה בהמשך. לכן, שמרו על “ראש פתוח” ובחרו את אורך הקטע שיהיה הכי קל לחשב איתו את התרגיל.

ראשית, ננסה להוציא מהאיבר בשאלה את אורך תתי-הקטעים שלנו:

\lim_{n \rightarrow \infty}\sum_{k=1}^n\frac{4}{n}\sqrt{\frac{2(2k-1)}{n}}=

=\lim_{n \rightarrow \infty}\sum_{k=1}^n 2\sqrt{\frac{2(2k-1)}{n}}\cdot \frac{2}{n}=

כעת, אנו צריכים להגדיר משתנה לפי n,k כך שלכל k המקיים:

1\leq k\leq n

הנקודה תהיה בקטע ה-k-י המתאים. נגדיר:

x_k=\frac{2k-1}{n}

נקודה בכל תת-קטע בחלוקה שלנו. שימו לב שהנקודות בתוך תתי הקטעים שבחרנו. בחרנו דווקא את ההגדרה הזאת, כי זה כבר נמצא בתרגיל וזה מקיים את התנאי – לכל k שנציב נקבל שהנקודה בקטע ה-k-י המתאים.

נציב את המשתנים של סכום רימן:

=\lim_{n \rightarrow \infty}\sum_{k=1}^n 2\sqrt{2x_k}\cdot \Delta x_k=

נגדיר פונקציה כמו הביטוי בתרגיל, אבל נקרא למשתנה x:

f(x)=2\sqrt{2x}

נציב את הפונקציה ונקבל:

=\lim_{n \rightarrow \infty}\sum_{k=1}^n f(x_k)\cdot \Delta x_k=

ומהגדרת סכום רימן נובע השוויון:

=\int_0^2 2\sqrt{2x}dx=

כלומר, במקום לחשב גבול מסובך, נחשב אינטגרל פשוט. נפתור אותו בעזרת נוסחת האינטגרציה המתאימה:

=[2\frac{{(2x)}^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}\cdot 2}]_0^2=

שימו לב שנעזרנו בכלל השלישי בכללי האינטגרציה. יכולנו לעשות זאת רק משום שהפונקציה הפנימית לינארית. נציב את גבולות האינטגרציה, עליון פחות תחתון, ונקבל:

=(2\frac{{(2\cdot 2)}^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}\cdot 2})-(2\frac{{(2\cdot 0)}^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}\cdot 2})=

=\frac{2}{3}\cdot 4^{\frac{3}{2}}-0=\frac{16}{3}

פתרון מפורט בוידאו

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור. 
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה