fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

סכום רימן – תרגיל 2318

תרגיל 

חשבו את הגבול:

\lim_{n \rightarrow \infty}\sum_{k=1}^n \frac{9k+3n}{3kn+2n^2}

תשובה סופית


\lim_{n \rightarrow \infty}\sum_{k=1}^n \frac{9k+3n}{3kn+2n^2}=3-\ln 5+\ln 2

פתרון

נרצה להשתמש בנוסחה של סכום רימן. נבחר את הקטע:

[0,1]

ונחלק אותו ל-n חלקים שווים. אורך כל תת-קטע יהיה

\Delta x_k=\frac{1-0}{n}=\frac{1}{n}

ראשית, ננסה להוציא מהביטוי בשאלה את אורך תתי-הקטעים שלנו:

\lim_{n \rightarrow \infty}\sum_{k=1}^n \frac{9k+3n}{3kn+2n^2}=

=\lim_{n \rightarrow \infty}\sum_{k=1}^n \frac{9k+3n}{3k+2n}\cdot \frac{1}{n}=

כעת, אנו צריכים להגדיר משתנה לפי n,k כך שלכל k המקיים:

1\leq k\leq n

הנקודה תהיה בקטע ה-k-י המתאים. נגדיר:

x_k=\frac{k}{n}

נקודה בכל תת-קטע בחלוקה שלנו. שימו לב שהנקודות בקצות תתי-הקטעים, וזה בסדר.

כעת, ננסה שהמשתנים בביטוי שנותר יופיעו רק כמו הנקודה שבחרנו, כלומר

x_k=\frac{k}{n}

לשם כך, נחלק מונה ומכנה ב-n ונקבל:

=\lim_{n \rightarrow \infty}\sum_{k=1}^n \frac{9\frac{k}{n}+3}{3\frac{k}{n}+2}\cdot \frac{1}{n}=

נציב את המשתנים של סכום רימן:

=\lim_{n \rightarrow \infty}\sum_{k=1}^n \frac{9x_k +3}{3x_k+2}\cdot \Delta x_k=

נגדיר פונקציה כמו הביטוי בתרגיל, אבל נקרא למשתנה x:

f(x)= \frac{9x+3}{3x+2}

נציב את הפונקציה ונקבל:

=\lim_{n \rightarrow \infty}\sum_{k=1}^n f(x_k)\cdot \Delta x_k=

ומהגדרת סכום רימן נובע השוויון:

=\int_0^1 \frac{9x+3}{3x+2}dx=

כלומר, במקום לחשב גבול מסובך, נחשב אינטגרל פשוט. נפתור אותו:

=\int_0^1 \frac{9x+6-3}{3x+2}dx=

=\int_0^1 \frac{9x+6}{3x+2}-\frac{3}{3x+2}dx=

=\int_0^1 3-3\frac{1}{3x+2}dx=

הגענו לאינטגרל מיידי. נפתור אותו בעזרת נוסחת האינטגרציה המתאימה:

=[3x-3\cdot\frac{\ln(3x+2)}{3}]_0^1=

שימו לב שנעזרנו בכלל השלישי בכללי האינטגרציה. נציב את גבולות האינטגרציה, עליון פחות תחתון, ונקבל:

=(3\cdot 1-3\cdot\frac{\ln(3\cdot 1+2)}{3})-(3\cdot 0-3\cdot\frac{\ln(3\cdot 0+2)}{3})=

=(3-\ln5)-(0-\ln2)=3-\ln 5+\ln 2

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור. 
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה