fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

המשפט היסודי של חדו”א – תרגיל 2372

תרגיל 

חשבו את הנגזרת של הפונקציה:

g(x)=\int_{x}^{x+2} (4t+1) dt

תשובה סופית


g'(x)=8

פתרון

הפונקציה:

f(t)=4t+1

רציפה. נרצה להשתמש במשפט היסודי של חדו”א, אבל גבול האינטגרציה התחתון הוא פונקציה ולא מספר כפי שנדרש במשפט. גם גבול האינטגרציה העליון הוא פונקציה, לכן לא נוכל לסדר זאת על ידי חילוף גבולות האינטגרציה. לכן, נבחר נקודה בתחום ההגדרה של הפונקציה, למשל אפס, ונפצל את האינטגרל לשני אינטגרלים בנקודה זו:

g(x)=\int_{x}^{x+2} (4t+1) dt=

=\int_{x}^{0} (4t+1) dt + \int_0^{x+2} (4t+1) dt=

גבול האינטגרציה התחתון באינטגרל הראשון הוא פונקציה, וכדי להשתמש במשפט אנו צריכים שיהיה שם מספר. לכן, נסדר זאת על ידי החלפת גבולות האינטגרציה והכפלה במינוס אחד:

=-\int_0^{x} (4t+1) dt + \int_0^{x+2} (4t+1) dt=

כעת, נשתמש במשפט בשני האינטגרלים ונקבל:

g'(x)=-f(x)+f(x+2)\cdot (x+2)'=

=-(4x+1)+(4(x+2)+1)\cdot 1=

-4x-1+4x+8+1=8

שימו לב שבאינטגרל השני השתמשנו בכלל החמישי בכללי הגזירה (כלל ההרכבה או כלל שרשרת), משום שהמשתנה בפונקציה היה x+2 ולא רק x.

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור. 
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה