fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

מבחנים – קירוב לינארי בשני משתנים – תרגיל 3400

תרגיל 

(שאלה זו הופיעה במבחן)

השתמשו בקירוב לינארי של פונקציה:

f(x,y)=\sqrt{5e^x+y^2}

בסביבת נקודה

(x,y)=(0,2)

כדי למצוא ערך מקורב של

\sqrt{5e^{0.02}+{2.03}^2}

תשובה סופית


\sqrt{5e^{0.02}+{2.03}^2}\approx 3.037

פתרון

נשתמש בנוסחת הקירוב הלינארי:

f(x,y)\approx f(x_0,y_0)+f'_x(x_0,y_0)\cdot(x-x_0)+f'_y(x_0,y_0)\cdot(y-y_0)

לשם כך, נצטרך להגדיר את

x, y, x_0, y_0,f(x)

ולהציב אותם בנוסחה. x,y יהיו המספרים הנתונים בביטוי בשאלה, ואילו הנקודות

x_0,y_0

יהיו נקודות הקרובות ל-x,y בהתאמה, שאנו מזהים שייתנו ביטוי קל לחישוב. בתרגיל שלנו, נגדיר

x=0.02, y=2.03

כי אלה המספרים המופיעים בשאלה. ונבחר 

x_0=0, y_0=2

 כי אלה השלמים הכי קרובים ל-x,y.

אחרי שהגדרנו את x,y, קל למצוא את הפונקציה. פשוט שמים x במקום המספר שקבענו להיות x ושמים y במקום המספר שקבענו להיות y:

f(x,y)=\sqrt{5e^x+y^2}

בנוסחה מופיעות הנגזרות של הפונקציה. לכן, נגזור:

f'_x(x,y)=\frac{1}{2\sqrt{5e^x+y^2}}\cdot 5e^x

f'_y(x,y)=\frac{1}{2\sqrt{5e^x+y^2}}\cdot 2y

נציב את כל הנתונים בנוסחה ונקבל:

f(0.02,2.03)\approx f(0,2)+f'_x(0,2)\cdot(0.02-0)+f'_y(0,2)\cdot(2.03-2)=

=\sqrt{5e^0+2^2}+\frac{1}{2\sqrt{5e^0+2^2}}\cdot 5e^0\cdot 0.02+\frac{1}{2\sqrt{5e^0+2^2}}\cdot 2\cdot 2\cdot (0.03)=

=\sqrt{9}+\frac{1}{6}\cdot 5\cdot 0.02+\frac{1}{6}\cdot 4\cdot 0.03=

=3+\frac{5}{6}\cdot 0.02+\frac{4}{6}\cdot 0.03=

=3+0.0166+0.02=

=3.037

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור.
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה