fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

קירוב לינארי בשני משתנים – הוכחת קירוב של ביטוי עם מנה – תרגיל 3402

תרגיל 

הוכיחו שעבור x,y קרובים לאפס מתקיים:

\frac{1}{1+x-y}\approx 1-x+y

הוכחה

מכיוון שצריך להוכיח משוואה עם סימן של אומדן במקום שווה, כנראה צריך להשתמש בנוסחת הקירוב הלינארי:

f(x,y)\approx f(x_0,y_0)+f'_x(x_0,y_0)\cdot(x-x_0)+f'_y(x_0,y_0)\cdot(y-y_0)

לשם כך, נצטרך להגדיר את

x, y, x_0, y_0,f(x)

ולהציב אותם בנוסחה. נשאיר את x ואת y, כי הם מופיעים במשוואה שצריך להוכיח. ונגדיר את

x_0,y_0

להיות אפס, כי ביקשו להוכיח את המשוואה עבור נקודות הקרובות לראשית. כלומר

x_0=0, y_0=0

הפונקציה תהיה אגף ימין במשוואה שצריך להוכיח:

f(x,y)=\frac{1}{1+x-y}

בנוסחה מופיעות הנגזרות של הפונקציה. לכן, נגזור:

f'_x(x,y)=\frac{-1}{{(1+x-y)}^2}

f'_y(x,y)=\frac{-1}{{(1+x-y)}^2}\cdot (-1)=

=\frac{1}{{(1+x-y)}^2}

נציב את כל הנתונים בנוסחה ונקבל:

\frac{1}{1+x-y}\approx f(0,0)+f'_x(0,0)\cdot(x-0)+f'_y(0,0)\cdot(y-0)=

=\frac{1}{1+0-0}+\frac{-1}{{(1+0-0)}^2}\cdot x+\frac{1}{{(1+0-0)}^2}\cdot y=

=1-1\cdot x+1\cdot y=

=1-x+y

לסיכום, קיבלנו:

\frac{1}{1+x-y}\approx 1-x+y

כנדרש.

מ.ש.ל.

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור.
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה