תרגיל
חשבו בקירוב
\sqrt{1.02^3+1.97^3}
תשובה סופית
פתרון מפורט
נשתמש בנוסחת הקירוב הלינארי:
f(x,y)\approx f(x_0,y_0)+f'_x(x_0,y_0)\cdot(x-x_0)+f'_y(x_0,y_0)\cdot(y-y_0)
לשם כך, נצטרך להגדיר את
x, y, x_0, y_0,f(x)
ולהציב אותם בנוסחה. x,y יהיו המספרים הנתונים בביטוי בשאלה, ואילו הנקודות
x_0,y_0
יהיו נקודות הקרובות ל-x,y בהתאמה, שאנו מזהים שייתנו ביטוי קל לחישוב. בתרגיל שלנו, נגדיר
x=1.02, y=1.97
כי אלה המספרים המופיעים בשאלה. ונבחר
x_0=1, y_0=2
כי אלה השלמים הכי קרובים ל-x,y.
אחרי שהגדרנו את x,y, קל למצוא את הפונקציה. פשוט שמים x במקום המספר שקבענו להיות x ושמים y במקום המספר שקבענו להיות y:
f(x,y)=\sqrt{x^3+y^3}
בנוסחה מופיעות הנגזרות של הפונקציה. לכן, נגזור:
f'_x(x,y)=\frac{1}{2\sqrt{x^3+y^3}}\cdot 3x^2=\frac{3x^2}{2\sqrt{x^3+y^3}}
f'_y(x,y)=\frac{1}{2\sqrt{x^3+y^3}}\cdot 3y^2=\frac{3y^2}{2\sqrt{x^3+y^3}}
נציב את כל הנתונים בנוסחה ונקבל:
f(1.02,1.97)\approx f(1,2)+f'_x(1,2)\cdot(1.02-1)+f'_y(1,2)\cdot(1.97-2)=
=\sqrt{1^3+2^3}+\frac{3\cdot 1^2}{2\sqrt{1^3+2^3}}\cdot 0.02+\frac{3\cdot 2^2}{2\sqrt{1^3+2^3}}\cdot (-0.03)=
=\sqrt{9}+\frac{3}{2\sqrt{9}}\cdot 0.02+\frac{12}{2\sqrt{9}}\cdot (-0.03)=
=3+\frac{3}{2\cdot 3}\cdot 0.02+\frac{12}{2\cdot 3}\cdot (-0.03)=
=3+\frac{3}{6}\cdot 0.02+\frac{12}{6}\cdot (-0.03)=
=3+\frac{1}{2}\cdot 0.02+2\cdot (-0.03)=
=3+0.01-0.06=
=2.95
עזרתי לך להבין את החומר? מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? כתב/י תגובה למטה ואשמח לענות 🙂
