fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

קירוב לינארי בשני משתנים – ביטוי עם שורש – תרגיל 4219

תרגיל 

חשבו בקירוב

\sqrt{1.02^3+1.97^3}

תשובה סופית


2.95

פתרון

נשתמש בנוסחת הקירוב הלינארי:

f(x,y)\approx f(x_0,y_0)+f'_x(x_0,y_0)\cdot(x-x_0)+f'_y(x_0,y_0)\cdot(y-y_0)

לשם כך, נצטרך להגדיר את

x, y, x_0, y_0,f(x)

ולהציב אותם בנוסחה. x,y יהיו המספרים הנתונים בביטוי בשאלה, ואילו הנקודות

x_0,y_0

יהיו נקודות הקרובות ל-x,y בהתאמה, שאנו מזהים שייתנו ביטוי קל לחישוב. בתרגיל שלנו, נגדיר

x=1.02, y=1.97

כי אלה המספרים המופיעים בשאלה. ונבחר 

x_0=1, y_0=2

 כי אלה השלמים הכי קרובים ל-x,y.

אחרי שהגדרנו את x,y, קל למצוא את הפונקציה. פשוט שמים x במקום המספר שקבענו להיות x ושמים y במקום המספר שקבענו להיות y:

f(x,y)=\sqrt{x^3+y^3}

בנוסחה מופיעות הנגזרות של הפונקציה. לכן, נגזור:

f'_x(x,y)=\frac{1}{2\sqrt{x^3+y^3}}\cdot 3x^2=\frac{3x^2}{2\sqrt{x^3+y^3}}

f'_y(x,y)=\frac{1}{2\sqrt{x^3+y^3}}\cdot 3y^2=\frac{3y^2}{2\sqrt{x^3+y^3}}

נציב את כל הנתונים בנוסחה ונקבל:

f(1.02,1.97)\approx f(1,2)+f'_x(1,2)\cdot(1.02-1)+f'_y(1,2)\cdot(1.97-2)=

=\sqrt{1^3+2^3}+\frac{3\cdot 1^2}{2\sqrt{1^3+2^3}}\cdot 0.02+\frac{3\cdot 2^2}{2\sqrt{1^3+2^3}}\cdot (-0.03)=

=\sqrt{9}+\frac{3}{2\sqrt{9}}\cdot 0.02+\frac{12}{2\sqrt{9}}\cdot (-0.03)=

=3+\frac{3}{2\cdot 3}\cdot 0.02+\frac{12}{2\cdot 3}\cdot (-0.03)=

=3+\frac{3}{6}\cdot 0.02+\frac{12}{6}\cdot (-0.03)=

=3+\frac{1}{2}\cdot 0.02+2\cdot (-0.03)=

=3+0.01-0.06=

=2.95

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור.
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה