fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

קירוב לינארי בשני משתנים – הוכחת קירוב של ביטוי עם שורש – תרגיל 3404

תרגיל 

הוכיחו שעבור x,y קרובים ל-1 מתקיים:

\sqrt{x^3+3y^2}\approx \frac{3}{4}x+\frac{3}{2}y-\frac{1}{4}

הוכחה

מכיוון שצריך להוכיח משוואה עם סימן של אומדן במקום שווה, כנראה צריך להשתמש בנוסחת הקירוב הלינארי:

f(x,y)\approx f(x_0,y_0)+f'_x(x_0,y_0)\cdot(x-x_0)+f'_y(x_0,y_0)\cdot(y-y_0)

לשם כך, נצטרך להגדיר את

x, y, x_0, y_0,f(x)

ולהציב אותם בנוסחה. נשאיר את x ואת y, כי הם מופיעים במשוואה שצריך להוכיח. ונגדיר את

x_0,y_0

להיות 1, כי ביקשו להוכיח את המשוואה עבור נקודות הקרובות ל-1. כלומר

x_0=1, y_0=1

הפונקציה תהיה אגף ימין במשוואה שצריך להוכיח:

f(x,y)=\sqrt{x^3+3y^2}

בנוסחה מופיעות הנגזרות של הפונקציה. לכן, נגזור:

f'_x(x,y)=\frac{1}{2\sqrt{x^3+3y^2}}\cdot 3x^2

f'_y(x,y)=\frac{1}{2\sqrt{x^3+3y^2}}\cdot 6y

נציב את כל הנתונים בנוסחה ונקבל:

\sqrt{x^3+3y^2}\approx f(1,1)+f'_x(1,1)\cdot(x-1)+f'_y(1,1)\cdot(y-1)=

=\sqrt{1^3+3\cdot 1^2}+\frac{1}{2\sqrt{1^3+3\cdot 1^2}}\cdot 3\cdot 1^2\cdot (x-1)+\frac{1}{2\sqrt{1^3+3\cdot 1^2}}\cdot 6\cdot 1\cdot (y-1)=

=\sqrt{4}+\frac{1}{2\sqrt{4}}\cdot 3\cdot (x-1)+\frac{1}{2\sqrt{4}}\cdot 6\cdot (y-1)=

=2+\frac{3}{4}\cdot (x-1)+\frac{6}{4}\cdot (y-1)=

=2+\frac{3}{4}x-\frac{3}{4}+\frac{6}{4}y-\frac{6}{4}=

=\frac{3}{4}x+\frac{3}{2}y-\frac{1}{4}

לסיכום, קיבלנו:

\sqrt{x^3+3y^2}\approx \frac{3}{4}x+\frac{3}{2}y-\frac{1}{4}

כנדרש.

מ.ש.ל.

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור.
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה