תרגיל
חשבו בקירוב
\sin 32^{\circ} \tan 40^{\circ}
תשובה סופית
פתרון מפורט
נשתמש בנוסחת הקירוב הלינארי:
f(x,y)\approx f(x_0,y_0)+f'_x(x_0,y_0)\cdot(x-x_0)+f'_y(x_0,y_0)\cdot(y-y_0)
לשם כך, נצטרך להגדיר את
x, y, x_0, y_0,f(x)
ולהציב אותם בנוסחה. x,y יהיו המספרים הנתונים בביטוי בשאלה, ואילו הנקודות
x_0,y_0
יהיו נקודות הקרובות ל-x,y בהתאמה, שאנו מזהים שייתנו ביטוי קל לחישוב. בתרגיל שלנו, נגדיר
x=32^{\circ}, y=40^{\circ}
כי אלה המספרים המופיעים בשאלה. ונבחר
x_0=30^{\circ}=\frac{\pi}{6}
y_0=45^{\circ}=\frac{\pi}{4}
כי אלה המספרים הכי קלים לחישוב וקרובים ל-x,y.
אחרי שהגדרנו את x,y, קל למצוא את הפונקציה. פשוט שמים x במקום המספר שקבענו להיות x ושמים y במקום המספר שקבענו להיות y:
f(x,y)=\sin x\cdot\tan y
בנוסחה מופיעות הנגזרות של הפונקציה. לכן, נגזור:
f'_x(x,y)=\cos x\cdot \tan y
f'_y(x,y)=\sin x\cdot\frac{1}{\cos^2 y}
נציב את כל הנתונים בנוסחה ונקבל:
f(\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{4})\approx f(\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{4})+f'_x(\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{4})\cdot(32^{\circ}-30^{\circ})+f'_y(\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{4})\cdot(40^{\circ}-45^{\circ})=
=\sin \frac{\pi}{6}\cdot\tan\frac{\pi}{4}+\cos\frac{\pi}{6}\cdot\tan\frac{\pi}{4}\cdot 2^{\circ}+\sin\frac{\pi}{6}\cdot\frac{1}{\cos^2(\frac{\pi}{4})}\cdot(-5^{\circ})=
=\frac{1}{2}\cdot 1+\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot 1\cdot\frac{\pi}{90}+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{{(\frac{\sqrt{2}}{2})}^2}\cdot(-\frac{\pi}{36})=
=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{\pi}{90}+\frac{1}{2}\cdot 2\cdot(-\frac{\pi}{36})=
=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{\pi}{90}-\frac{\pi}{36}=
=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}\pi}{180}-\frac{\pi}{36}=
=\frac{90+\sqrt{3}\pi-5}{180}=
=\frac{85+\sqrt{3}\pi}{180}
עזרתי לך להבין את החומר? מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? כתב/י תגובה למטה ואשמח לענות 🙂
