תרגיל
חשבו בקירוב
\arctan(\frac{1.01}{0.98})
תשובה סופית
פתרון מפורט
נשתמש בנוסחת הקירוב הלינארי:
f(x,y)\approx f(x_0,y_0)+f'_x(x_0,y_0)\cdot(x-x_0)+f'_y(x_0,y_0)\cdot(y-y_0)
לשם כך, נצטרך להגדיר את
x, y, x_0, y_0,f(x)
ולהציב אותם בנוסחה. x,y יהיו המספרים הנתונים בביטוי בשאלה, ואילו הנקודות
x_0,y_0
יהיו נקודות הקרובות ל-x,y בהתאמה, שאנו מזהים שייתנו ביטוי קל לחישוב. בתרגיל שלנו, נגדיר
x=1.01, y=0.98
כי אלה המספרים המופיעים בשאלה. ונבחר
x_0=1,y_0=1
כי אלה המספרים הכי קלים לחישוב וקרובים ל-x,y.
אחרי שהגדרנו את x,y, קל למצוא את הפונקציה. פשוט שמים x במקום המספר שקבענו להיות x ושמים y במקום המספר שקבענו להיות y:
f(x,y)=\arctan(\frac{x}{y})
בנוסחה מופיעות הנגזרות של הפונקציה. לכן, נגזור:
f'_x(x,y)=\frac{1}{{(\frac{x}{y})}^2+1}\cdot\frac{1}{y}=
=\frac{y^2}{x^2+y^2}\cdot\frac{1}{y}=
=\frac{y}{x^2+y^2}
f'_y(x,y)=\frac{1}{{(\frac{x}{y})}^2+1}\cdot(-\frac{x}{y^2})=
=\frac{y^2}{x^2+y^2}\cdot(-\frac{x}{y^2})=
=\frac{-x}{x^2+y^2}
נציב את כל הנתונים בנוסחה ונקבל:
f(1.01,0.98)\approx f(1,1)+f'_x(1,1)\cdot(1.01-1)+f'_y(1,1)\cdot(0.98-1)=
=\arctan(\frac{1}{1})+\frac{1}{1^2+1^2}\cdot 0.01+\frac{-1}{1^2+1^2}\cdot(-0.02)=
=\frac{\pi}{4}+\frac{1}{2}\cdot 0.01+\frac{-1}{2}\cdot(-0.02)=
=\frac{\pi}{4}+0.005+0.001=
=\frac{\pi}{4}+0.005+0.001=
אפשר להציב
\pi=3.1415
ולקבל:
=\frac{3.1415}{4}+0.005+0.001=0.791
עזרתי לך להבין את החומר? מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? כתב/י תגובה למטה ואשמח לענות 🙂
