fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

קירוב לינארי בשני משתנים – ביטוי עם arctan – תרגיל 4221

תרגיל 

חשבו בקירוב

\arctan(\frac{1.01}{0.98})

תשובה סופית


0.791

פתרון

נשתמש בנוסחת הקירוב הלינארי:

f(x,y)\approx f(x_0,y_0)+f'_x(x_0,y_0)\cdot(x-x_0)+f'_y(x_0,y_0)\cdot(y-y_0)

לשם כך, נצטרך להגדיר את

x, y, x_0, y_0,f(x)

ולהציב אותם בנוסחה. x,y יהיו המספרים הנתונים בביטוי בשאלה, ואילו הנקודות

x_0,y_0

יהיו נקודות הקרובות ל-x,y בהתאמה, שאנו מזהים שייתנו ביטוי קל לחישוב. בתרגיל שלנו, נגדיר

x=1.01, y=0.98

כי אלה המספרים המופיעים בשאלה. ונבחר 

x_0=1,y_0=1

 כי אלה המספרים הכי קלים לחישוב וקרובים ל-x,y.

אחרי שהגדרנו את x,y, קל למצוא את הפונקציה. פשוט שמים x במקום המספר שקבענו להיות x ושמים y במקום המספר שקבענו להיות y:

f(x,y)=\arctan(\frac{x}{y})

בנוסחה מופיעות הנגזרות של הפונקציה. לכן, נגזור:

f'_x(x,y)=\frac{1}{{(\frac{x}{y})}^2+1}\cdot\frac{1}{y}=

=\frac{y^2}{x^2+y^2}\cdot\frac{1}{y}=

=\frac{y}{x^2+y^2}

f'_y(x,y)=\frac{1}{{(\frac{x}{y})}^2+1}\cdot(-\frac{x}{y^2})=

=\frac{y^2}{x^2+y^2}\cdot(-\frac{x}{y^2})=

=\frac{-x}{x^2+y^2}

נציב את כל הנתונים בנוסחה ונקבל:

f(1.01,0.98)\approx f(1,1)+f'_x(1,1)\cdot(1.01-1)+f'_y(1,1)\cdot(0.98-1)=

=\arctan(\frac{1}{1})+\frac{1}{1^2+1^2}\cdot 0.01+\frac{-1}{1^2+1^2}\cdot(-0.02)=

=\frac{\pi}{4}+\frac{1}{2}\cdot 0.01+\frac{-1}{2}\cdot(-0.02)=

=\frac{\pi}{4}+0.005+0.001=

=\frac{\pi}{4}+0.005+0.001=

אפשר להציב

\pi=3.1415

ולקבל:

=\frac{3.1415}{4}+0.005+0.001=0.791

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור.
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה