תרגיל
חשבו בקירוב
1.002\cdot 2.003^2\cdot 3.004^3
תשובה סופית
פתרון מפורט
נשתמש בנוסחת הקירוב הלינארי לשלושה משתנים:
f(x,y,z)\approx f(x_0,y_0,z_0)+f'_x(x_0,y_0,z_0)\cdot(x-x_0)+
+f'_y(x_0,y_0,z_0)\cdot(y-y_0)+f'_z(x_0,y_0,z_0)\cdot(z-z_0)
לשם כך, נצטרך להגדיר את
x, y, z,x_0, y_0,z_0,f(x,y,z)
ולהציב אותם בנוסחה. x,y,z יהיו המספרים הנתונים בביטוי בשאלה, ואילו הנקודות
x_0,y_0,z_0
יהיו נקודות הקרובות ל-x,y,z בהתאמה, שאנו מזהים שייתנו ביטוי קל לחישוב. בתרגיל שלנו, נגדיר
x=1.002, y=2.003,z=3.004
כי אלה המספרים המופיעים בשאלה. ונבחר
x_0=1, y_0=2,z_0=3
כי אלה השלמים הכי קרובים ל-x,y,z.
אחרי שהגדרנו את x,y,z, קל למצוא את הפונקציה. פשוט שמים x במקום המספר שקבענו להיות x, שמים y במקום המספר שקבענו להיות y ושמים ז במקום המספר שקבענו להיות z:
f(x,y,z)=xy^2z^3
בנוסחה מופיעות הנגזרות של הפונקציה. לכן, נגזור:
f'_x(x,y,z)=y^2z^3
f'_y(x,y,z)=2xyz^3
f'_z(x,y,z)=3xy^2z^2
נציב את כל הנתונים בנוסחה ונקבל:
f(1.002,2.003,3.004)\approx f(1,2,3)+f'_x(1,2,3)\cdot(1.002-1)+
+f'_y(1,2,3)\cdot(2.003-2)+f'_z(1,2,3)\cdot(3.004-3)=
= 1\cdot 2^2\cdot 3^3+2^2\cdot 3^3\cdot 0.002+2\cdot 1\cdot 2\cdot 3^3\cdot 0.003+3\cdot 1\cdot 2^2\cdot 3^2\cdot 0.004=
= 108+108\cdot 0.002+108\cdot 0.003+108\cdot 0.004=
= 108(1+0.002+0.003+0.004)=
= 108\cdot 1.009=
= 108.972
עזרתי לך להבין את החומר? מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? כתב/י תגובה למטה ואשמח לענות 🙂
