fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

הוכחת גבול של סדרה לפי הגדרה – תרגיל 385

תרגיל

נתון:

a_n = \frac{2 n + 1}{1 - 3 n}

הוכיחו שמתקיים:

\lim _ {n \rightarrow \infty} a_n = -\frac{2}{3}

פתרון

ניקח

\varepsilon > 0

נמצא N כל שלכל

n \geq N

יתקיים:

|a_n + \frac {2}{3} | < \varepsilon

כדי להוכיח זאת, נפַתח את הביטוי באגף השמאלי עד שנגיע לביטוי שבו n מופיע פעם אחת. נעשה זאת כך:

|a_n + \frac {2}{3} | =

= |\frac{2 n + 1}{1 - 3 n} + \frac {2}{3} | =

|\frac{6 n + 3 +2 - 6 n}{3 - 9 n} | =

|\frac{5}{3 - 9 n} | =

נשים לב שהמונה חיובי, ואילו המכנה שלילי, כי n שואף לאינסוף, כלומר:

3 - 9 n < 0

לכן, נסיר את הערך המוחלט כך:

=\frac{5}{ 9 n - 3} =

אפשר לסיים כעת, כי קיבלנו מופע אחד של n, אבל נקבל ביטוי מסובך יותר של N. לכן, נמשיך לפתח את הביטוי כדי להגיע למשהו יותר פשוט.

=\frac{5}{ 6 n + 3 n - 3} =

=\frac{5}{ 6 n + 3 ( n - 1 )} =

\leq \frac{5}{ 6 n } < \frac {1}{n}

הגענו לביטוי שבו n מופיע רק פעם אחת וסיימנו.

כעת, בחישוב בצד נמצא את ה-N שיסיים את ההוכחה. לשם כך, נניח שמתקיים:

\frac { 1 } { n} < \varepsilon

נבודד את n ונקבל:

n > \frac {1}{\varepsilon}

לכן, נבחר N גדול מהביטוי שקיבלנו באגף השני, כלומר ניקח:

N > \frac {1}{\varepsilon}

ואז לכל 

n \geq N

נקבל שמתקיים:

|a_n + \frac {2}{3} | < \frac{1}{n}<\frac{1}{N}<\varepsilon

הערה: N הוא מספר חיובי שלם (גדול מאוד), ולכן יש שמגדירים את N להיות החלק השלם הגדול של הביטוי:

\frac {1}{\varepsilon}

כך:

N = \lceil \frac {1}{\varepsilon} \rceil

בהגדרה כזו ההוכחה תסתיים כך:

|a_n + \frac {2}{3} | < \frac{1}{n}<\frac{1}{N}=\frac{1}{\frac{1}{\varepsilon}}=\varepsilon

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור. 
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה