fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

הוכחת גבול של סדרה לפי הגדרה – סדרה שואפת לאינסוף – תרגיל 397

תרגיל

הוכיחו שמתקיים:

\lim _ {n \rightarrow \infty} \ln n = \infty

פתרון

הגבול אינסופי, לכן ניקח מספר גדול מאוד:

M > 0

ונמצא N כל שלכל

n \geq N

יתקיים:

a_n > M

כדי להוכיח זאת, נפַתח את הביטוי באגף השמאלי עד שנגיע לביטוי שבו n מופיע פעם אחת. נעשה זאת כך:

a_n = \ln n

זהו. n מופיע פעם אחת ולכן אין מה לעשות יותר.

כעת, בחישוב בצד נמצא את ה-N שיסיים את ההוכחה. לשם כך, נניח שמתקיים:

\ln n > M

נבודד את n ונקבל:

e^{\ln n} > e^M

n > e^M

לכן, נבחר N גדול מהביטוי שקיבלנו באגף השני, כלומר ניקח:

N > e^M

ואז לכל 

n \geq N

נקבל שמתקיים:

a_n = \ln n > \ln N > \ln e^M = M

וסיימנו.

הערה: N הוא מספר חיובי שלם (גדול מאוד), ולכן יש שמגדירים את N להיות החלק השלם הגדול של הביטוי שמקבלים באגף השני, כלומר:

\frac {1}{\varepsilon}

כך:

N = \lceil e^M \rceil

בהגדרה כזו ההוכחה תסתיים כך:

a_n = \ln n > \ln N = \ln e^M = M

שתי הדרכים מובילות לאותה תוצאה.

מצאתם טעות? יש לכם שאלה בנוגע לפתרון זה? השאירו תגובה למטה.
רוצים פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספרו לי כאן

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה