fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

הוכחת גבול של סדרה לפי הגדרה – סדרה שואפת לגבול סופי – תרגיל 413

תרגיל

הוכיחו:

\lim _ {n \rightarrow \infty} \sqrt{n^+1} - \sqrt{n^2-1} = 0

פתרון

הגבול סופי, ולכן ניקח מספר חיובי מאוד מאוד קטן:

\varepsilon > 0

ונמצא N (מספר חיובי שלם גדול מאוד מאוד) כל שלכל

n \geq N

יתקיים:

| \sqrt{n^+1} - \sqrt{n^2-1} - 0| < \varepsilon

כדי להוכיח זאת, נפַתח את הביטוי באגף השמאלי עד שנגיע לביטוי שבו n מופיע פעם אחת. נעשה זאת כך:

| \sqrt{n^+1} - \sqrt{n^2-1} - 0| =

= | \sqrt{n^+1} - \sqrt{n^2-1}| =

כעת, נכפול בביטוי (ששווה לאחד):

\frac{\sqrt{n^+1} + \sqrt{n^2-1}}{\sqrt{n^+1} + \sqrt{n^2-1}}

ונקבל:

= |\frac{n^2 + 1 -n^2 + 1}{\sqrt{n^+1} + \sqrt{n^2-1}} | =

= |\frac{2}{\sqrt{n^+1} + \sqrt{n^2-1}} | =

< \frac{2}{\sqrt{n^+1}} =

< \frac{2}{\sqrt{n^2}} = \frac{2}{n}

הגענו לביטוי שבו n מופיע רק פעם אחת, ולכן סיימנו.

כעת, בחישוב בצד נמצא את ה-N שיסיים את ההוכחה. לשם כך, נניח שמתקיים:

\frac{2}{n}< \varepsilon

נבודד את n ונקבל:

\frac {2}{\varepsilon} < n

לכן, נבחר N גדול מהביטוי שקיבלנו באגף השני, כלומר ניקח:

N > \frac {2}{\varepsilon}

ואז לכל 

n \geq N

נקבל שמתקיים:

\sqrt{n^+1} - \sqrt{n^2-1} < \frac{2}{n}<\frac{2}{N}<\frac{2}{\frac {2}{\varepsilon}} < \varepsilon

הערה: N הוא מספר חיובי שלם (גדול מאוד), ולכן יש שמגדירים את N להיות החלק השלם הגדול של הביטוי:

\frac {2}{\varepsilon}

כך:

N = \lceil \frac {2}{\varepsilon} \rceil

בהגדרה כזו ההוכחה תסתיים כך:

\sqrt{n^+1} - \sqrt{n^2-1} < \frac{2}{n}<\frac{2}{N}=\frac{2}{\frac{2}{\varepsilon}}=\varepsilon

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור. 
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה