fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

הוכחת גבול של סדרה לפי הגדרה – סדרה שואפת לאינסוף – תרגיל 404

תרגיל

הוכיחו שמתקיים:

\lim _ {n \rightarrow \infty} \frac {2 n} {\sqrt{n}} = \infty

פתרון

הגבול אינסופי, לכן ניקח מספר גדול מאוד:

M > 0

ונמצא N (מספר חיובי שלם גדול מאוד) כל שלכל

n \geq N

יתקיים:

\frac {2 n} {\sqrt{n}} > M

כדי להוכיח זאת, נפַתח את הביטוי באגף השמאלי עד שנגיע לביטוי שבו n מופיע פעם אחת. נעשה זאת כך:

\frac {2 n} {\sqrt{n}} > \frac {n} {\sqrt{n}} = \sqrt{n}

זהו. n מופיע פעם אחת ולכן אין מה לעשות יותר.

כעת, בחישוב בצד נמצא את ה-N שיסיים את ההוכחה. לשם כך, נניח שמתקיים:

\sqrt{n} > M

נבודד את n ונקבל:

n > M^2

לכן, נבחר N גדול מהביטוי שקיבלנו באגף השני, כלומר ניקח:

N > M^2

ואז לכל 

n \geq N

נקבל שמתקיים:

\frac {2 n} {\sqrt{n}} = \sqrt{n}>\sqrt{N} > \sqrt{M^2} = M

וסיימנו.

הערה: N הוא מספר חיובי שלם (גדול מאוד), ולכן יש שמגדירים את N להיות החלק השלם הגדול של הביטוי שמקבלים באגף השני, כלומר:

M^2

כך:

N = \lceil M^2 \rceil

בהגדרה כזו ההוכחה תסתיים כך:

\frac {2 n} {\sqrt{n}} = \sqrt{n}> \sqrt{N} = \sqrt{M^2} = M

שתי הדרכים מובילות לאותה תוצאה.

מצאתם טעות? יש לכם שאלה בנוגע לפתרון זה? השאירו תגובה למטה.
רוצים פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספרו לי כאן

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה