fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

חישוב גבול פונקציה מרובת משתנים – פונקציה עם e – תרגיל 4181

תרגיל 

האם הגבול:

\lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)} \frac{x}{y}e^{-y^2}

קיים? אם כן, מה ערכו?

תשובה סופית

גבול לא קיים

פתרון

ראשית, נבדוק אם הגבול אינו קיים. כדי להוכיח שגבול אינו קיים, נמצא שני מסלולים, המובילים לנקודה (0,0), אבל תוצאות הגבול עליהם יהיו שונות.

ניקח מסלול אחד:

x=y\rightarrow 0

נציב את המסלול בפונקציה ונחשב את הגבול:

\lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)} \frac{x}{y}e^{-y^2}=

=\lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)} \frac{y}{y}e^{-y^2}=

=\lim_{y\rightarrow 0} e^{-y^2}=e^0=1

ניקח מסלול שני:

x=0,y\rightarrow 0

נציב את המסלול בפונקציה ונחשב את הגבול:

\lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)} \frac{0}{y}e^{-y^2}=

\lim_{y\rightarrow 0} 0\cdot e^{-y^2}=0

קיבלנו שמסלול אחד מוביל לתוצאה 1, ומסלול שני מוביל לתוצאה 0. מכאן, אין לפונקציה גבול בנקודה.

הערות חשובות:

  • כשאתם בוחרים מסלולים, שימו לב שהמסלולים שבחרתם עוברים בנקודה (למשל, בתרגיל הזה המסלולים עוברים בנקודה (0,0)).
  • שיטת המסלולים עוזרת רק להפרכת גבול, כלומר להוכיח שהגבול אינו קיים. אם המסלולים שבחרתם מובילים לאותה תוצאה, לא ניתן להסיק מכך שקיים גבול, אלא צריך להוכיח זאת.

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור.
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה