תרגיל
האם הגבול:
\lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)} \frac{x+y}{x-y}
קיים? אם כן, מה ערכו?
תשובה סופית
פתרון מפורט
ראשית, נבדוק אם הגבול אינו קיים. כדי להוכיח שגבול אינו קיים, נמצא שני מסלולים, המובילים לנקודה (0,0), אבל תוצאות הגבול עליהם יהיו שונות.
ניקח מסלול אחד:
x=0,y\rightarrow 0
נציב את המסלול בפונקציה ונחשב את הגבול:
\lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)} \frac{x+y}{x-y}=
=\lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)} \frac{0+y}{0-y}=
=\lim_{y\rightarrow 0} \frac{y}{-y}=-1
ניקח מסלול שני:
y=0,x\rightarrow 0
נציב את המסלול בפונקציה ונחשב את הגבול:
\lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)} \frac{x+y}{x-y}=
=\lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)} \frac{x+0}{x-0}=
=\lim_{x\rightarrow 0} \frac{x}{x}=1
קיבלנו שמסלול אחד מוביל לתוצאה 1-, ומסלול שני מוביל לתוצאה 1. מכיוון שקיבלנו תוצאות שונות, הגבול אינו קיים. כלומר, אין לפונקציה גבול בנקודה.
הערות חשובות:
- כשאתם בוחרים מסלולים, שימו לב שהמסלולים שבחרתם עוברים בנקודה (למשל, בתרגיל הזה המסלולים עוברים בנקודה (0,0)).
- שיטת המסלולים עוזרת רק להפרכת גבול, כלומר להוכיח שהגבול אינו קיים. אם המסלולים שבחרתם מובילים לאותה תוצאה, לא ניתן להסיק מכך שקיים גבול, אלא צריך להוכיח זאת.
עזרתי לך להבין את החומר? מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? כתב/י תגובה למטה ואשמח לענות 🙂
