fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

חישוב גבול פונקציה מרובת משתנים – פונקציה עם ln – תרגיל 4187

תרגיל 

האם הגבול:

\lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)} x\ln(x^2+3y^2)

קיים? אם כן, מה ערכו?

תשובה סופית

\lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)} x\ln(x^2+3y^2)=0

פתרון

מכיוון שאנו רואים שהמשתנים מופיעים בפונקציה בצורתם הריבועית, נשתמש בשיטה להוכחת גבול בעזרת משתנים פולריים. לשם כך, נגדיר:

x=r\cos\theta

y=r\sin\theta

וננסה להוכיח שהגבול L שווה לאפס. נציב הכול בנוסחה ונקבל:

|f(x,y)-L|=

|x\ln(x^2+3y^2-0|=

|r\cos\theta\ln({(r\cos\theta)}^2+3{(r\sin\theta)}^2)-0|=

|r\cos\theta\ln(r^2\cos^2\theta+3r^2\sin^2\theta)|=

|r\cos\theta\ln(r^2(\cos^2\theta+3\sin^2\theta))|=

|r\cos\theta\ln(r^2(1+2\sin^2\theta))|\leq

cos פונקציה חסומה ותמיד קטנה או שווה לאחד:

\leq|r\ln(r^2(1+2\sin^2\theta))|=

נשתמש בחוקי לוגריתמים:

=|r\ln r^2+r\ln(1+2\sin^2\theta)|\leq

sin פונקציה חסומה ותמיד קטנה או שווה לאחד:

\leq|r\ln r^2+r\ln(3)|

הצלחנו להגיע לביטוי גדול יותר התלוי רק במשתנה r (בלי תטה). הוא תמיד חיובי, לכן אפשר להסיר את הערך המוחלט. נגדיר פונקציה חדשה:

g(r)=r\ln r^2+r\ln(3)

אם הפונקציה הזו תשאף לאפס כאשר r שואף לאפס, אז הניחוש המקורי שלנו (שהגבול שווה לאפס) נכונה. נחשב את הגבול של הפונקציה g:

\lim_{r\rightarrow 0} r\ln r^2+r\ln(3)=

\lim_{r\rightarrow 0} \frac{\ln r^2}{\frac{1}{r}}+r\ln(3)=

הגענו למקרה אי ודאות “שואף לאינסוף חלקֵי שואף לאינסוף”, לכן נשתמש בכלל לופיטל – נגזור את המונה בנפרד ואת המכנה בנפרד:

=\lim_{r\rightarrow 0} \frac{2r\frac{1}{r^2}}{-\frac{1}{r^2}}+r\ln(3)=

=\lim_{r\rightarrow 0} -2r+r\ln(3)=0

קיבלנו שהגבול של g שווה לאפס, ולכן ההנחה שלנו לעיל שהגבול (המקורי) שואף לאפס, נכונה. כלומר,

\lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)} x\ln(x^2+3y^2)=0[/bg_collapse]

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור.
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה