fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

הוכחת גזירות – מכפלה עם sin – תרגיל 1094

תרגיל 

נתונה הפונקציה:

f(x) = \begin{cases} x\sin(\frac{1}{x}), &\quad x\neq 0 \\ 0, &\quad x =0\\ \end{cases}

האם הפונקציה גזירה?

תשובה סופית

הפונקציה גזירה בכל נקודה, פרט לנקודה x=0.

פתרון

ראשית, נגזור את הפונקציה לפי נוסחאות גזירה. שימו לב שצריך להשתמש בנוסחת גזירה למכפלה:

f'(x)=\sin(\frac{1}{x})+x\cos(\frac{1}{x})\cdot (-\frac{1}{x^2}) =

=\sin(\frac{1}{x})-\frac{1}{x}\cos(\frac{1}{x})

קיבלנו פונקציה שמוגדרת ורציפה לכל x שונה מאפס, ולכן הפונקציה המקורית גזירה לכל x, פרט אולי בנקודה אפס. נבדוק אותה בנפרד. בבדיקת גזירות בנקודה, קודם בודקים רציפות בנקודה. אם היא לא  רציפה בנקודה, אז היא בהכרח לא גזירה בה.

נבדוק רציפות בנקודה x=0:

\lim _ { x \rightarrow 0} x\sin(\frac{1}{x})=

שימו לב שלא צריך לבדוק בנפרד גבול מימין וגבול משמאל, כי הפונקציה זהה משני הצדדים, ולכן נקבל אותו חישוב. בנוסף, נשים לב שפונקציית סינוס חסומה והפונקציה השנייה במכפלה שואפת לאפס, כלומר:

\lim _ { x \rightarrow 0} x=0

משני נתונים אלו נובע שהגבול שואף לאפס, כלומר:

\lim _ { x \rightarrow 0} x\sin(\frac{1}{x})=0

טיפ: זכרו תמיד את המשפט האומר ש’אפיסה כפול חסומה שואף לאפס’

קיבלנו שהגבול של הפונקציה לנקודה שווה לערך הפונקציה בנקודה:

f(0)=\lim _ { x \rightarrow 0} f(x)

לכן, לפי הגדרת רציפות, הפונקציה רציפה בנקודה אפס. 

שימו לב: רציפות לא גוררת גזירות, אלא אי-רציפות גורר אי-גזירות. לכן, צריך להמשיך ולבדוק אם היא גם גזירה בנקודה אפס או לא.

נחשב את הנגזרת בנקודה x=0 לפי הגדרה:

f'(0) =\lim _ { h \rightarrow 0} \frac{f(0+h)-f(0)}{h}=

נציב את הפונקציה:

=\lim _ { h \rightarrow 0} \frac{(0+h)\sin(\frac{1}{0+h})-0}{h}=

=\lim _ { h \rightarrow 0} \frac{h\sin\frac{1}{h}-0}{h}=

=\lim _ { h \rightarrow 0} \sin\frac{1}{h}=

הגענו לגבול שאינו קיים. זה אומר שאין גבול. מכאן, לפי הגדרת הנגזרת, אין נגזרת בנקודה. כלומר

f'(0)

לא קיים. משמע, הפונקציה אינה גזירה בנקודה x=0.

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור. 
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה