fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

הוכחת גזירות – פונקציה עם פרמטרים – תרגיל 1123

תרגיל 

נתונה הפונקציה:

f(x) = \begin{cases} a\cdot \cos x, &\quad x\leq 0 \\ b\cdot \sin(x+c\pi), &\quad x >0\\ \end{cases}

a,b פרמטרים. עבור אילו ערכים של הפרמטרים הפונקציה גזירה?

תשובה סופית

\begin{cases} a=0 \\ b=0\\ c, &\quad c\in R \end{cases}

או

\begin{cases} a =\pm b \\ c=\frac{1}{2} +n, &\quad n\in Z\\ \end{cases}

פתרון

הפונקציה מורכבת משתי פונקציות אלמנטריות, והן רציפות וגזירות בתחום הגדרתן. לכן, נבדוק רק בנקודת החיבור ביניהן, x=0.

ראשית, נבדוק רציפות בנקודה x=0 לפי הגדרה. נחשב את הגבול מימין לנקודה:

\lim _ { x \rightarrow 0^{+}} f(x)

כאשר x שואף לאפס מימין, x קרוב לאפס, אך גדול ממנו (למשל, 0.00000001) ושם מתקיים:

f(x) = b\cdot \sin(x+c\pi)

לכן, נציב את הפונקציה הזו בגבול ונקבל:

\lim _ { x \rightarrow 0^{+}} f(x)=\lim _ { x \rightarrow 0^{+}}b\cdot \sin(x+c\pi)=

=b\cdot \sin(c\pi)

כעת, נחשב את הגבול משמאל לנקודה, כלומר:

\lim _ { x \rightarrow 0^{-}} f(x)

כאשר x שואף לאפס משמאל, x קרוב לאפס, אך קטן ממנו (למשל, 0.00000001-) ושם מתקיים:

f(x) = a\cdot \cos x

לכן, נציב את הפונקציה הזו בגבול ונקבל:

\lim _ { x \rightarrow 0^{-}} f(x)=\lim _ { x \rightarrow 0^{-}}a\cdot \cos x=

=a\cdot \cos 0=a\cdot 1=a

כמו כן, הערך של הפונקציה באפס מוגדר ומתקיים:

f(0) = a\cdot \cos 0=a\cdot 1=a

כדי שפונקציה תהיה רציפה בנקודה, צריך שהגבול מימין יהיה שווה לגבול משמאל ושניהם יהיו שווים לערך הפונקציה בנקודה. כלומר, הפונקציה רציפה בנקודה x=0 אם ורק אם מתקיים:

a = b\cdot \sin(c\pi)

קיבלנו משוואה בשני נעלמים: a,b. משוואה נוספת נקבל בעזרת בדיקת הגזירות. 

שימו לב: אם היינו מקבלים שהפונקציה אינה רציפה לכל ערך של הפרמטרים, היינו יכולים להסיק שהיא גם אינה גזירה. זכרו כי ההפך אינו נכון – פונקציה שאינה גזירה יכולה להיות רציפה או לא רציפה. כמו כן, אם פונקציה רציפה, לא ניתן להסיק מכך שהיא גזירה, ייתכן שהיא גזירה וייתכן שלא.

לכן, נבדוק גזירות בנקודה x=0. מכיוון שהפונקציות אלמנטריות, הן גזירות בתחום ההגדרה שלהן. לכן, נגזור כל פונקציה בעזרת נוסחאות גזירה ונקבל:

f'(x) = \begin{cases} -a\cdot \sin x, &\quad x< 0 \\ b\cdot \cos(x+c\pi), &\quad x >0\\ \end{cases}

שימו לב: כשגוזרים כל ענף בנפרד לפי נוסחאות גזירה, מקבלים את הנגזרות בלי נקודת החיבור ביניהן. את הגזירות בנקודה זו צריך לבדוק בנפרד (כמו בהמשך התרגיל).

כעת, נבדוק גזירות רק בנקודת החיבור, x=0. לשם כך, נחשב גבול של הנגזרת מימין ומשמאל.

הגבול מימין הוא:

\lim _ { x \rightarrow 0^{+}} f'(x)=

=\lim _ { x \rightarrow 0^{+}} b\cdot \cos(x+c\pi)=

=b\cdot \cos(c\pi)

הגבול משמאל הוא:

\lim _ { x \rightarrow 0^{-}} f'(x)=

\lim _ { x \rightarrow 0^{-}} -a\cdot \sin x=

= -a\cdot \sin x=0=0

מכאן, הפונקציה גזירה בנקודה x=0 רק כאשר מתקיים:

0=b\cdot \cos(c\pi)

קיבלנו שתי משוואות בשני נעלמים:

a = b\cdot \sin(c\pi)

0=b\cdot \cos(c\pi)

מהמשוואה השנייה מקבלים b=0 או

0=\cos(c\pi)

אם b=0, אז בהכרח a=0 ופרמטר c יכול להיות כלשהו.

פתרון שני, אם 

0=\cos(c\pi)

אז

c=\frac{1}{2} +n

עבור n מספר שלם כלשהו. ואז מקבלים מהמשוואה הראשונה:

a = b\cdot \sin((\frac{1}{2}+n)\pi)

 

a =\pm b

קיבלנו את הערכים:

\begin{cases} a=0 \\ b=0\\ c, &\quad c\in R \end{cases}

או

\begin{cases} a =\pm b \\ c=\frac{1}{2} +n, &\quad n\in Z\\ \end{cases}

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור. 
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה