fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

הוכחת גזירות – פולינום ופונקציה מעריכית – תרגיל 1150

תרגיל 

נתונה הפונקציה:

= \begin{cases} e^x, &\quad x>0 \\ x^2+3, &\quad x \leq 0\\ \end{cases}

האם הפונקציה גזירה בנקודה x=0?

תשובה סופית

הפונקציה אינה גזירה בנקודה x=0.

פתרון

הפונקציה בעלת שני ענפים, ובכל ענף פונקציה אלמנטרית רציפה וגזירה בכל תחום הגדרתה. לכן, נותר לנו לבדוק רציפות וגזירות רק בנקודת החיבור ביניהן, שהיא x=0.

ראשית, נבדוק רציפות בנקודה x=0 לפי הגדרה. נחשב את הגבול מימין לנקודה:

\lim _ { x \rightarrow 0^{+}} f(x)

כאשר x שואף ל-0 מימין, x קרוב ל-0, אך גדול ממנו (למשל, 0.00000001) ושם מתקיים:

f(x) = e^x

לכן, נציב את הפונקציה הזו בגבול ונקבל:

\lim _ { x \rightarrow 0^{+}}e^x=1

כעת, נחשב את הגבול משמאל לנקודה, כלומר:

\lim _ { x \rightarrow 0^{-}} f(x)

כאשר x שואף ל-0 משמאל, x קרוב ל-0, אך קטן ממנו (למשל, 0.00000001-) ושם מתקיים:

f(x) = x^2+3

לכן, נציב את הפונקציה הזו בגבול ונקבל:

\lim _ { x \rightarrow 1^{-}}x^2+3=3

קיבלנו שהגבולות מימין ומשמאל קיימים, אבל אינם שווים. לכן, לפי הגדרת רציפות, הפונקציה אינה רציפה בנקודה x=0. מכיוון שאינה רציפה בנקודה, היא גם אינה גזירה בנקודה.

זכרו: פונקציה שאינה רציפה בנקודה, בהכרח אינה גזירה בה.

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור. 
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה