fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

הוכחת גזירות – פונקציה עם פולינום ושורש – תרגיל 1140

תרגיל 

נתונה הפונקציה:

f(x) = \begin{cases} 2x^2, &\quad x\leq 1 \\ 2\sqrt{x}, &\quad x >1\\ \end{cases}

האם היא גזירה בנקודה x=1?

תשובה סופית

לא. הפונקציה אינה גזירה בנקודה x=1.

פתרון

ראשית, נבדוק רציפות בנקודה x=1 לפי הגדרה. נחשב את הגבול מימין לנקודה:

\lim _ { x \rightarrow 1^{+}} f(x)

כאשר x שואף ל-1 מימין, x קרוב ל-1, אך גדול ממנו (למשל, 1.00000001) ושם מתקיים:

f(x) = 2\sqrt{x}

לכן, נציב את הפונקציה הזו בגבול ונקבל:

\lim _ { x \rightarrow 1^{+}} f(x)=

=\lim _ { x \rightarrow 1^{+}}2\sqrt{x}=2

כעת, נחשב את הגבול משמאל לנקודה, כלומר:

\lim _ { x \rightarrow 1^{-}} f(x)

כאשר x שואף ל-1 משמאל, x קרוב ל-1, אך קטן ממנו (למשל, 0.99999) ושם מתקיים:

f(x) = 2x^2

לכן, נציב את הפונקציה הזו בגבול ונקבל:

\lim _ { x \rightarrow 1^{-}} f(x)=

=\lim _ { x \rightarrow 1^{-}}2x^2=2

כמו כן, הערך של הפונקציה בנקודה x=1 מוגדר ומתקיים:

f(1) = 2\cdot 2^2=2

קיבלנו שהגבול מימין שווה לגבול משמאל ושניהם שווים לערך הפונקציה בנקודה:

\lim _ { x \rightarrow 1^{-}} f(x)=

=\lim _ { x \rightarrow 1^{+}} f(x)=

=f(1)=2

לפי הגדרת רציפות, זה אומר שהפונקציה רציפה בנקודה x=1.

שימו לב: אם היינו מקבלים שהפונקציה אינה רציפה בנקודה, אז היינו יכולים להסיק שהיא גם אינה גזירה בה. מכיוון שקיבלנו שהפונקציה רציפה בנקודה, אז צריך להמשיך ולבדוק אם היא גזירה או לא.

כעת, נבדוק גזירות בנקודה x=1.

דרך ראשונה, נבדוק גזירות בנקודה x=1 בעזרת נוסחאות גזירה. מכיוון שהפונקציות אלמנטריות, הן גזירות בתחום ההגדרה שלהן. לכן, נגזור כל פונקציה בעזרת נוסחאות גזירה ונקבל:

f'(x) = \begin{cases} 4x, &\quad x< 1 \\ \frac{1}{\sqrt{x}}, &\quad x >1\\ \end{cases}

שימו לב: כשגוזרים כל ענף בנפרד לפי נוסחאות גזירה, מקבלים את הנגזרות בלי נקודת החיבור ביניהן. את הגזירות בנקודה זו צריך לבדוק בנפרד (כמו בהמשך התרגיל).

נחשב גבול של הנגזרת מימין ומשמאל כדי לבדוק אם הנגזרת קיימת גם בנקודה x=1.

הגבול מימין הוא:

\lim _ { x \rightarrow 1^{+}} f'(x)=

=\lim _ { x \rightarrow 1^{+}} \frac{1}{\sqrt{x}}=1

הגבול משמאל הוא:

\lim _ { x \rightarrow 1^{-}} f'(x)=

\lim _ { x \rightarrow 1^{-}} 4x=4

הגבולות החד-צדדיים אינם שווים, לכן 

f'(1)

אינו קיים. מכאן, הפונקציה אינה גזירה בנקודה x=1.

דרך שנייה, נבדוק גזירות בנקודה x=1 בעזרת הגדרת נגזרת.

לפי הגדרה, הנגזרת בנקודה x=1 היא

f'(1)=\lim _ {x \rightarrow 1} \frac{f(x)-f(1)}{x-1}

נרצה להציב את הפונקציה שלנו בגבול, אבל היא שונה כאשר שואפים מימין או משמאל. לכן, נפצל את הגבול לשני גבולות חד-צדדיים. הגבול החד-צדדי משמאל הוא

\lim _ {x \rightarrow 1^{-}} \frac{f(x)-f(1)}{x-1}=

כאשר x שואף ל-1 משמאל, x קטן מ-1. וכך מקבלים:

=\lim _ {x \rightarrow 1^{-}} \frac{2x^2-2}{x-1}=

הצבת x=1 בגבול נותנת ‘שואף לאפס חלקֵי שואף לאפס’ וזה מקרה אי-ודאות. נשתמש בכלל לופיטל כדי לצאת ממצב זה ונקבל:

=\lim _ {x \rightarrow 1^{-}} \frac{4x}{1}=4\cdot 1 =4

נחשב את הגבול החד-צדדי מימין. כעת, x גדול מ-1, ולכן נקבל:

\lim _ {x \rightarrow 1^{+}} \frac{2\sqrt{x}-2}{x-1}=

=2\lim _ {x \rightarrow 1^{+}} \frac{\sqrt{x}-1}{x-1}=

הצבת x=1 בגבול שוב נותנת ‘שואף לאפס חלקֵי שואף לאפס’ וזה מקרה אי-ודאות. נפתח את הביטוי כדי לצאת ממצב זב – נשתמש בשיטת כפל בצמוד ונכפול את המונה ואת המכנה בצמוד של המונה:

=2\lim _ {x \rightarrow 1^{+}} \frac{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)}{(x-1)(\sqrt{x}+1)}=

=2\lim _ {x \rightarrow 1^{+}} \frac{x-1}{(x-1)(\sqrt{x}+1)}=

=2\lim _ {x \rightarrow 1^{+}} \frac{1}{\sqrt{x}+1}=

נציב שוב ונקבל:

=2\frac{1}{\sqrt{1}+1}=1

שוב מקבלים שהגבולות החד-צדדיים קיימים, אבל שונים אחד מהשני. לכן, הפונקציה אינה גזירה בנקודה x=1.

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור. 
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה