fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

הוכחת גזירות – פונקציה עם פרמטרים – תרגיל 1132

תרגיל 

נתונה הפונקציה:

f(x) = \begin{cases} 2x^2, &\quad x\leq 2 \\ ax+b, &\quad x >2\\ \end{cases}

a,b פרמטרים. עבור אילו ערכים של הפרמטרים הפונקציה גזירה?

תשובה סופית

a=8, b=-8

פתרון

הפונקציה מורכבת משתי פונקציות אלמנטריות, והן רציפות וגזירות בתחום הגדרתן. לכן, נבדוק רק בנקודת החיבור ביניהן, x=2.

ראשית, נבדוק רציפות בנקודה x=2 לפי הגדרה. נחשב את הגבול מימין לנקודה:

\lim _ { x \rightarrow 2^{+}} f(x)

כאשר x שואף ל-2 מימין, x קרוב ל-2, אך גדול ממנו (למשל, 2.00000001) ושם מתקיים:

f(x) = ax+b

לכן, נציב את הפונקציה הזו בגבול ונקבל:

\lim _ { x \rightarrow 2^{+}} f(x)=\lim _ { x \rightarrow 2^{+}}ax+b=

=2a+b

כעת, נחשב את הגבול משמאל לנקודה, כלומר:

\lim _ { x \rightarrow 2^{-}} f(x)

כאשר x שואף ל-2 משמאל, x קרוב ל-2, אך קטן ממנו (למשל, 1.99999) ושם מתקיים:

f(x) = 2x^2

לכן, נציב את הפונקציה הזו בגבול ונקבל:

\lim _ { x \rightarrow 2^{-}} f(x)=\lim _ { x \rightarrow 2^{-}}2x^2=

=2\cdot 2^2=8

כמו כן, הערך של הפונקציה ב-2 מוגדר ומתקיים:

f(2) = 2\cdot 2^2=8

כדי שפונקציה תהיה רציפה בנקודה, צריך שהגבול מימין יהיה שווה לגבול משמאל ושניהם יהיו שווים לערך הפונקציה בנקודה. כלומר, הפונקציה רציפה בנקודה x=2 אם ורק אם מתקיים:

2a+b=8

קיבלנו משוואה בשני נעלמים: a,b. משוואה נוספת נקבל בעזרת בדיקת הגזירות. 

שימו לב: אם היינו מקבלים שהפונקציה אינה רציפה לכל ערך של הפרמטרים, היינו יכולים להסיק שהיא גם אינה גזירה. זכרו כי ההפך אינו נכון – פונקציה שאינה גזירה יכולה להיות רציפה או לא רציפה. כמו כן, אם פונקציה רציפה, לא ניתן להסיק מכך שהיא גזירה, ייתכן שהיא גזירה וייתכן שלא.

יש שתי דרכים לבדיקת הגזירות:

דרך ראשונה, נבדוק גזירות בנקודה x=2 בעזרת נוסחאות גזירה. מכיוון שהפונקציות אלמנטריות, הן גזירות בתחום ההגדרה שלהן. לכן, נגזור כל פונקציה בעזרת נוסחאות גזירה ונקבל:

f'(x) = \begin{cases} 4x, &\quad x< 2 \\ a, &\quad x >2\\ \end{cases}

שימו לב: כשגוזרים כל ענף בנפרד לפי נוסחאות גזירה, מקבלים את הנגזרות בלי נקודת החיבור ביניהן. את הגזירות בנקודה זו צריך לבדוק בנפרד (כמו בהמשך התרגיל).

כעת, נחשב גבול של הנגזרת מימין ומשמאל כדי לבדוק אם הנגזרת קיימת גם בנקודה x=2.

הגבול מימין הוא:

\lim _ { x \rightarrow 2^{+}} f'(x)=

=\lim _ { x \rightarrow 2^{+}} a=a

הגבול משמאל הוא:

\lim _ { x \rightarrow 2^{-}} f'(x)=

\lim _ { x \rightarrow 2^{-}} 4x=

= 4\cdot 2=8

מכאן, הפונקציה גזירה בנקודה x=2 רק כאשר מתקיים:

a=8

דרך שנייה, נבדוק גזירות בנקודה x=2 בעזרת הגדרת נגזרת.

לפי הגדרה, הנגזרת בנקודה x=2 היא

f'(2)=\lim _ {x \rightarrow 2} \frac{f(x)-f(2)}{x-2}

נרצה להציב את הפונקציה שלנו בגבול, אבל היא שונה כאשר שואפים מימין או משמאל. לכן, נפצל את הגבול לשני גבולות חד-צדדיים. הגבול החד-צדדי משמאל הוא

\lim _ {x \rightarrow 2^{-}} \frac{f(x)-f(2)}{x-2}=

כאשר x שואף ל-2 משמאל, x קטן מ-2. וכך מקבלים:

=\lim _ {h \rightarrow 2^{-}} \frac{2x^2-8}{x-2}=

הצבת x=2 בגבול נותנת ‘שואף לאפס חלקֵי שואף לאפס’ וזה מקרה אי-ודאות. נשתמש בכלל לופיטל כדי לצאת ממצב זה ונקבל:

=\lim _ {h \rightarrow 2^{-}} \frac{4x}{1}=4\cdot 2 =8

נחשב את הגבול החד-צדדי מימין. כעת, x גדול מ-2, ולכן נקבל:

=\lim _ {h \rightarrow 2^{+}} \frac{ax+b-8}{x-2}=

כאשר נציב x=2, נקבל במכנה ‘שואף לאפס’. במונה, לעומת זאת, התוצאה תלויה בפרמטרים. מכיוון שאנו מעוניינים בגבול סופי (כי לפי הגדרת נגזרת, פונקציה גזירה בנקודה רק כאשר הגבול סופי), נניח שהמונה נותן גם ‘שואף לאפס’, כי זאת האפשרות היחידה שתיתן גבול סופי. כעת, נוכל להשתמש בכלל לופיטל ונקבל:

=\lim _ {h \rightarrow 2^{+}} \frac{a}{1}=a

גבול קיים כאשר שני הגבולות החד-צדדיים קיימים ושווים אחד לשני. לכן, הפונקציה גזירה בנקודה x=2 כאשר מתקיים:

a=8

בשתי הדרכים מקבלים שתי משוואות בשני נעלמים:

2a+b=8

16 +b =8

נציב את המשוואה השנייה במשוואה הראשונה ונקבל:

2\cdot 8 +b =8

16 +b =8

b =-8

קיבלנו שהפונקציה גזירה כאשר מתקיים:

16 +b =8

b =-8

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור. 
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה