הגדרת נגזרת

פונקציה נקראת גזירה בנקודה

x_0

אם הגבול

lim _ { x \rightarrow x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}

קיים וסופי. ותוצאת הגבול היא ערך הנגזרת בנקודה.

אם הגבול אינו סופי או לא קיים, אזי הפונקציה אינה גזירה בנקודה זו.

הגדרה שקולה:

נציב

h=x-x_0

ונקבל את הגבול:

lim _ { h \rightarrow 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}

וגם כאן, הפונקציה גזירה (באותה נקודה) אם הגבול קיים וסופי. ותוצאת הגבול היא ערך הנגזרת בנקודה.

הערה: לעתים משתמשים בהגדרה בסימון הזה:

h=\Delta x

בסימון כזה מקבלים את ההגדרה הזו:

lim _ { \Delta x \rightarrow 0} \frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}

סימונים לנגזרת:

f'(x_0), (f(x_0))', \frac{df}{dx}(x_0), \frac{d}{dx}f(x_0)

לסיכום, בתרגילים אפשר להשתמש באחת ההגדרות:

f'(x_0)=lim _ { x \rightarrow x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}

f'(x_0)=lim _ { h \rightarrow 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}

שימו לב: פונקציה גזירה בנקודה אם ורק אם הנגזרות החד-צדדיות קיימות, סופיות ושוות.

לחצו כאן לתרגילי הוכחת נגזרת לפי הגדרה

 

עזרתי לך להבין את החומר? מצאת טעות? יש לך שאלה? כתב/י תגובה למטה ואשמח לענות 🙂