fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

קמירות, קעירות ופיתול – הוכחת אי-שוויון – תרגיל 2148

תרגיל 

הוכיחו כי לכל x>0 מתקיים:

\frac{2}{(x+y)}\leq \frac{1}{2x}+\frac{1}{2y}

הוכחה

נשים לב שכל האיברים באי-שוויון מזכירים את הפונקציה:

f(x)=\frac{1}{x}

נבדוק אם פונקציה זו קמורה או קעורה. נגזור פעם אחת ונקבל:

f'(x)=-\frac{1}{x^2}

נגזור פעם שנייה ונקבל:

f''(x)=-\frac{-1}{x^4}\cdot (2x)=\frac{2}{x^3}

לכל x>0 n, מתקיים:

 f''(x)=\frac{2}{x^3}>0

לכן, הפונקציה קמורה, ואז מהגדרת קמירות מתקיים:

f(\frac{x+y}{2})\leq \frac{f(x)}{2}+\frac{f(y)}{2}

נציב את הפונקציה ונקבל:

\frac{1}{\frac{x+y}{2}}\leq \frac{\frac{1}{x}}{2}+\frac{\frac{1}{y}}{2}

\frac{2}{x+y}\leq\frac{1}{2x}+\frac{1}{2y}

מ.ש.ל.

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור. 
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה