תרגיל
נתונה הפונקציה:
y=x^3-6x^2+12x+4
מצאו את תחומי העלייה והירידה ואת נקודות הקיצון של הפונקציה.
תשובה סופית
פתרון מפורט
נתונה הפונקציה:
y=x^3-6x^2+12x+4
נגזור אותה בעזרת נוסחאות גזירה:
y'=3x^2-12x+12
נגזור פעם שנייה ונשווה לאפס:
y''=6x-12=0
קיבלנו את המשוואה:
6x-12=0
נפתור את המשוואה:
6x=12
x=2
נקודה זו חשודה לפיתול. היא מחלקת את ציר x לשני חלקים:
x<2
x>2
כדי למצוא את תחומי הקמירות והקעירות של הפונקציה, ניקח נקודה מכל חלק לעיל ונציב בנגזרת השנייה. אם נקבל תוצאה חיובית, הפונקציה קמורה בתחום זה (בצורת קערה), ואם נקבל תוצאה שלילית, הפונקציה קעורה בתחום זה (בצורת קערה הפוכה).
נתחיל בחלק הראשון:
x<2
ניקח נקודה כלשהי בתחום, למשל הנקודה:
x=0
נציב את הנקודה בנגזרת השנייה ונקבל:
y''(0)=6\cdot 0-12=-12<0
קיבלנו תוצאה שלילית, ולכן הפונקציה קעורה בתחום זה.
נמשיך לחלק השני:
x>2
ניקח נקודה כלשהי בתחום, למשל הנקודה:
x=3
נציב את הנקודה בנגזרת השנייה ונקבל:
y''(0)=6\cdot 3-12=6>0
קיבלנו תוצאה חיובית, ולכן הפונקציה קמורה בתחום זה.
כעת, כדי לחשב את סוג נקודות הפיתול נבדוק אם קיבלנו מעבר מקמירות לקעירות או להפך. אם כן, זו נקודת פיתול.
מכיוון שלפני הנקודה x=2 קיבלנו פונקציה קעורה ואחרי הנקודה – קמורה, יש נקודת פיתול בנקודה x=2.
נציב את הנקודה בפונקציה, כדי למצוא את ערך y שלה:
y(2)=2^3-6\cdot 2^2+12\cdot 2+4=12
עזרתי לך להבין את החומר? מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? כתב/י תגובה למטה ואשמח לענות 🙂
