fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

קמירות, קעירות ופיתול – חישוב תחומי קמירות, קעירות ונקודות פיתול למכפלה של פולינום ופונקציה מעריכית – תרגיל 6849

תרגיל 

נתונה הפונקציה:

y=(1+x^2)e^x

מצאו את תחומי העלייה והירידה ואת נקודות הקיצון של הפונקציה.

תשובה סופית

תחומי קמירות

x>-1, x<-3

תחומי קעירות

-3<x<-1

נקודות פיתול

(-3,\frac{10}{e^3}),(-1,\frac{2}{e})

פתרון

נתונה הפונקציה:

y=(1+x^2)e^x

נגזור אותה בעזרת נוסחאות גזירה:

y'=2x\cdot e^x+(1+x^2)\cdot e^x=

=e^x(2x+1+x^2)

נגזור פעם שנייה ונשווה לאפס:

y''=e^x(2x+1+x^2)+e^x(2x+2)=

=e^x(x^2+4x+3)=0

קיבלנו את המשוואה:

e^x(x^2+4x+3)=0

נפתור את המשוואה. הפונקציה המעריכית תמיד חיובית, לכן המשוואה מתקיימת כאשר מתקיים:

x^2+4x+3=0

זו משוואה ריבועית. נפרק אותה לגורמים בעזרת נוסחת השורשים ונקבל את הפירוק:

(x+1)(x+3)=0

מכאן, פתרונות המשוואה הם

x=-1, x=-3

נקודות אלו חשודות לפיתול. הן מחלקות את ציר x לשלושה חלקים:

x<-3

-3<x<-1

x>-1

כדי למצוא את תחומי הקמירות והקעירות של הפונקציה, ניקח נקודה מכל חלק לעיל ונציב בנגזרת השנייה. אם נקבל תוצאה חיובית, הפונקציה קמורה בתחום זה (בצורת קערה), ואם נקבל תוצאה שלילית, הפונקציה קעורה בתחום זה (בצורת קערה הפוכה).

נתחיל בחלק הראשון:

x<-3

ניקח נקודה כלשהי בתחום, למשל הנקודה:

x=-4

נציב את הנקודה בנגזרת השנייה ונקבל:

y''(-4)=e^{(-4)}({(-4)}^2+4\cdot (-4)+3)=

=e^{(-4)}(16-16+3)=

=\frac{3}{e^4}>0

קיבלנו תוצאה חיובית, ולכן הפונקציה קמורה בתחום זה.

נמשיך לחלק השני:

-3<x<-1

ניקח נקודה כלשהי בתחום, למשל הנקודה:

x=-2

נציב את הנקודה בנגזרת השנייה ונקבל:

y''(-2)=e^{(-2)}({(-2)}^2+4\cdot (-2)+3)=

=e^{(-2)}(4-8+3)=

=-\frac{1}{e^4}<0

קיבלנו תוצאה שלילית, ולכן הפונקציה קעורה בתחום זה.

נבדוק את החלק השלישי:

x>-1

ניקח נקודה כלשהי בתחום, למשל הנקודה:

x=0

נציב את הנקודה בנגזרת השנייה ונקבל:

y''(0)=e^{0}(0^2+4\cdot 0+3)=

=e^0(0+0+3)=

=3>0

קיבלנו תוצאה חיובית, ולכן הפונקציה קמורה בתחום זה.

כעת, כדי לחשב את סוג נקודות הפיתול נבדוק אם קיבלנו מעבר מקמירות לקעירות או להפך. אם כן, זו נקודת פיתול.

מכיוון שלפני הנקודה x=-3 קיבלנו פונקציה קמורה ואחרי הנקודה – קעורה, יש נקודת פיתול בנקודה x=-3.

מכיוון שלפני הנקודה x=-1 קיבלנו פונקציה קעורה ואחרי הנקודה – קמורה, יש נקודת פיתול בנקודה x=-1.

נציב את הנקודות בפונקציה, כדי למצוא את ערך y שלהן:

y(-3)=(1+{(-3)}^2)e^{-3}=\frac{10}{e^3}

y(-1)=(1+{(-1)}^2)e^{-1}=\frac{2}{e}

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור.
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה