fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

רוצה 5 טיפים להצלחה בטוחה בחדו"א?

חישוב אינטגרל כפול – חישוב גבולות אינטגרציה ואינטגרל – תרגיל 3899

תרגיל 

חשבו את האינטגרל:

\int\int_D \frac{1}{\sqrt{4-x}}dx dy

כאשר התחום D חסום על ידי הצירים והקשת הקצרה של מעגל בעל רדיוס 2 ומרכז בנקודה (2,2).

תשובה סופית

\int\int_D \frac{1}{\sqrt{4-x}}dx dy=8-5\frac{1}{3}\sqrt{2}

פתרון

ראשית, נשרטט את התחום D – משוואת המעגל היא:

(x-2)^2+(y-2)^2=4

נשרטט את המעגל ונסמן את התחום D:

תחום בין מעגל וצירים

המעגל באדום, התחום D מסומן בפסים ירוקים.

כעת, נמצא את גבולות האינטגרציה של האינטגרל:

\int dx\int \frac{1}{\sqrt{4-x}} dy

כדי למצוא את גבולות האינטגרציה, מתחילים מהאינטגרל הפנימי (הימני) ומעבירים ישר המקביל לציר של משתנה האינטגרציה. בתרגיל שלנו, האינטגרל הפנימי הוא לפי y, ולכן נעביר ישר המקביל לציר y. זה נראה כך:

תחום אינטגרציה מעגל וצירים

כעת, נבדוק לאיזה ערך y שווה כשנכנסים לתחום מלמטה ולאיזה ערך y שווה כשיוצאים מהתחום למעלה. אנו נכנסים לתחום בציר x , לכן גבול האינטגרציה התחתון הוא y=0. כדי למצוא את תחום האינטגרציה העליון, נבודד את המשתנה y במשוואת המעגל:

(x-2)^2+(y-2)^2=4

(y-2)^2=4-(x-2)^2

(y-2)=\pm \sqrt{4-(x-2)^2}

y=2 \pm \sqrt{4-(x-2)^2}

חצי מעגל עליון הוא המשוואה בסימן מינוס, וחצי מעגל תחתון הוא המשוואה בסימן פלוס. כך מקבלים שגבולות האינטגרציה הם:

\int dx\int_0^{2 - \sqrt{4-(x-2)^2}} \frac{1}{\sqrt{4-x}} dy

נעבור למצוא את גבולות האינטגרציה החיצוניים (של האינטגרל השמאלי), לפי x. שימו לב שגבולות חיצוניים חייבים להיות קבועים, ללא המשתנים x או y. כדי למצוא את גבולות האינטגרציה החיצוניים, ניקח את הקטע הגדול ביותר בציר של משתנה האינטגרציה, החופף עם התחום D. בתרגיל שלנו, המשתנה הוא x, והקטע הגדול ביותר בציר x, שחופף עם התחום הוא הקטע:

(0,2)

לכן, גבולות האינטגרציה יהיו:

\int_0^2 dx\int_0^{2 - \sqrt{4-(x-2)^2}} \frac{1}{\sqrt{4-x}} dy

הערה: את הפונקציה שמים בחלק הפנימי ביותר. אפשר להפוך את הסדר – קודם dy ואז dx – ואז גבולות האינטגרציה ישתנו בהתאם.

כעת, אפשר לפתור את האינטגרל. קודם כל, נפתור את האינטגרל הפנימי (הימני) ונכניס את התוצאה בתוך האינטגרל החיצוני (השמאלי). שימו לב האינטגרל שאנו פותרים כעת (הימני) הוא לפי המשתנה y.

=\int_0^2 [\frac{1}{\sqrt{4-x}}y]_{0}^{2 - \sqrt{4-(x-2)^2}} dx=

נציב את גבולות האינטגרציה במקום y:

=\int_0^2 (\frac{1}{\sqrt{4-x}}\cdot (2 - \sqrt{4-(x-2)^2})-\frac{1}{\sqrt{4-x}}\cdot 0) dx=

=\int_0^2 2\frac{1}{\sqrt{4-x}}- \frac{\sqrt{4-(x-2)^2}}{\sqrt{4-x}}) dx=

=\int_0^2 2\frac{1}{\sqrt{4-x}} - \frac{\sqrt{4-x^2+4x-4}}{\sqrt{4-x}}) dx=

=\int_0^2 2\frac{1}{\sqrt{4-x}}- \frac{\sqrt{4x-x^2}}{\sqrt{4-x}}) dx=

=\int_0^2 2\frac{1}{\sqrt{4-x}} - \frac{\sqrt{x(4-x)}}{\sqrt{4-x}}) dx=

=\int_0^2 2\frac{1}{\sqrt{4-x}}- \frac{\sqrt{x}\sqrt{4-x}}{\sqrt{4-x}}) dx=

=\int_0^2 (2{(4-x)}^{-\frac{1}{2}} - {x}^{\frac{1}{2}}) dx=

קיבלנו אינטגרל רגיל במשתנה אחד x. נפתור אותו:

=[2\frac{{(4-x)}^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}\cdot (-1)}-\frac{ {x}^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}]_0^2=

=[-4\sqrt{4-x}-\frac{2}{3}{x}^{\frac{3}{2}}]_0^2=

נציב את גבולות האינטגרציה:

=-4\sqrt{4-2}-\frac{2}{3}{2}^{\frac{3}{2}}-(-4\sqrt{4-0}-\frac{2}{3}{0}^{\frac{3}{2}})=

=-4\sqrt{2}-\frac{2}{3}{2}^{\frac{3}{2}}+4\sqrt{2}+0=

=-4\sqrt{2}-\frac{2}{3}2\sqrt{2}+8=

=-4\sqrt{2}-\frac{4}{3}\sqrt{2}+8=

=8-5\frac{1}{3}\sqrt{2}

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור.
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

כדאי ללמוד ביחד - שתפו עכשיו

כתיבת תגובה

רוצה 5 טיפים להצלחה בטוחה בחדו"א?