fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

רוצה 5 טיפים להצלחה בטוחה בחדו"א?

חישוב אינטגרל כפול – חישוב גבולות אינטגרציה ואינטגרל – תרגיל 3913

תרגיל 

חשבו את האינטגרל:

\int\int_D |xy| dx dy

כאשר D מעגל בעל רדיוס a>0 ומרכזו בראשית.

תשובה סופית

\int\int_D |xy| dx dy=\frac{a^4}{2}

פתרון

ראשית, נשרטט את התחום D – משוואת מעגל שמרכזו בראשית ורדיוסו a היא

x^2+y^2=a^2

נשרטט את המעגל ברדיוס a=2 (הבחירה ב-2 אקראית ורק למטרת השרטוט):

מעגל עם רדיוס 2 ומרכז בראשית

התחום D הוא פנים כל המעגל (מסומן בפסים ירוקים).

כעת, נמצא את גבולות האינטגרציה של האינטגרל:

\int dx\int |xy| dy

כדי למצוא את גבולות האינטגרציה, מתחילים מהאינטגרל הפנימי (הימני) ומעבירים ישר המקביל לציר של משתנה האינטגרציה. בתרגיל שלנו, האינטגרל הפנימי הוא לפי y, ולכן נעביר ישר המקביל לציר y. זה נראה כך:

תחום אינטגרציה למעגל

 

כעת, נבדוק לאיזה ערך y שווה כשנכנסים לתחום D משמאל ולאיזה ערך y שווה כשיוצאים מהתחום מימין. לשם כך, נבודד את y במשוואת המעגל:

x^2+y^2=a^2

y^2=a^2-x^2

y=\pm \sqrt{a^2-x^2}

חצי מעגל עליון הוא המשוואה בסימן פלוס, וחצי מעגל תחתון הוא המשוואה בסימן מינוס. כך מקבלים שגבולות האינטגרציה הם:

\int dx\int_{-\sqrt{a^2-x^2}}^{\sqrt{a^2-x^2}} |xy| dy

נעבור למצוא את גבולות האינטגרציה החיצוניים (של האינטגרל השמאלי), לפי x. שימו לב שגבולות חיצוניים חייבים להיות קבועים, ללא המשתנים x או y. כדי למצוא את גבולות האינטגרציה החיצוניים, ניקח את הקטע הגדול ביותר בציר של משתנה האינטגרציה, החופף עם התחום D. בתרגיל שלנו, המשתנה הוא x, והקטע הגדול ביותר בציר x, שחופף עם התחום הוא הקטע:

(-a,a)

לכן, גבולות האינטגרציה יהיו:

\int_{-a}^a dx\int_{-\sqrt{a^2-x^2}}^{\sqrt{a^2-x^2}} |xy| dy=

הערה: את הפונקציה שמים בחלק הפנימי ביותר. אפשר להפוך את הסדר – קודם dy ואז dx – ואז גבולות האינטגרציה ישתנו בהתאם.

כעת, אפשר לפתור את האינטגרל. מכיוון שהפונקציה שבתוך האינטגרל בערך מוחלט, צריך להיפטר ממנו לפני חישוב האינטגרל. הדרך הקלה ביותר להיפטר מהערך המוחלט כאן היא לשים לב שהתחום D הוא סימטרי לפי x ולפי y, ולכן אפשר לחשב אינטגרל רק על רבע מהמעגל – הרבע שבו גם x וגם y חיוביים – ולכפול ב-4. מכיוון שבחרנו את הרבע החיובי לשני המשתנים, אז הביטוי בערך מוחלט יהיה שווה לעצמו (ללא הערך המוחלט). כך נקבל:

=4\int_0^a dx\int_0^{\sqrt{a^2-x^2}} xy dy=

קודם כל, נפתור את האינטגרל הפנימי (הימני) ונכניס את התוצאה בתוך האינטגרל החיצוני (השמאלי). שימו לב – האינטגרל שאנו פותרים כעת (הימני) הוא לפי המשתנה y.

=4\int_0^a [x\frac{y^2}{2}]_0^{\sqrt{a^2-x^2}} dx=

נציב את גבולות האינטגרציה במקום y:

=4\int_0^a (x\frac{{\sqrt{a^2-x^2}}^2}{2}-x\frac{0^2}{2}) dx=

=4\int_0^a (x\frac{a^2-x^2}{2}) dx=

=2\int_0^a x(a^2-x^2) dx=

=2\int_0^a (a^2x-x^3) dx=

קיבלנו אינטגרל רגיל במשתנה אחד x. נפתור אותו:

=2[a^2\frac{x^2}{2}-\frac{x^4}{4}]_0^a=

נציב את גבולות האינטגרציה:

=2[a^2\frac{a^2}{2}-\frac{a^4}{4}-(a^2\frac{0^2}{2}-\frac{0^4}{4})]=

=2[\frac{a^4}{2}-\frac{a^4}{4}-0]=

=2a^4-\frac{a^4}{2}=\frac{a^4}{2}

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור.
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

כדאי ללמוד ביחד - שתפו עכשיו

כתיבת תגובה

רוצה 5 טיפים להצלחה בטוחה בחדו"א?