fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

נגזרת חלקית – חישוב נגזרת מסדר שני לפונקציה מעריכית – תרגיל 4327

תרגיל 

חשבו את הנגזרות החלקיות מסדר שני (נגזרת שנייה) של הפונקציה:

z(x,y)=e^{x^2y}

תשובה סופית

z''_{xx} (x,y)=2ye^{x^2y}(2x^2y+1)

z''_{yy} (x,y)=x^4e^{x^2y}

z''_{xy} (x,y)=z''_{yx}(x,y)=2xe^{x^2y}(x^2y+1)

פתרון

נחשב את הנגזרת החלקית לפי x. כשגוזרים לפי x, x הוא המשתנה ו-y נחשב לפרמטר. כעת מקבלים גזירה של משתנה אחד, ולכן אפשר להשתמש בנוסחאות גזירה של משתנה אחד. כך מקבלים:

z'_x (x,y)=e^{x^2y}\cdot 2xy

נחשב את הנגזרת החלקית לפי y. כשגוזרים לפי y, y הוא המשתנה ו-x נחשב לפרמטר. כעת מקבלים גזירה של משתנה אחד, ולכן אפשר להשתמש בנוסחאות גזירה של משתנה אחד. כך מקבלים:

z'_y (x,y)=e^{x^2y}\cdot x^2

כעת, נחשב את הנגזרות מסדר שני. נגזרת שנייה היא פשוט נגזרת על הנגזרת, כלומר גוזרים לפי חוקי נגזרת את פונקציית הנגזרת.

קיבלנו שהנגזרת לפי x היא

z'_x (x,y)=e^{x^2y}\cdot 2xy

נגזור אותה לפי x ונקבל:

z''_{xx} (x,y)=e^{x^2y}\cdot 2xy\cdot 2xy+e^{x^2y}\cdot 2y=

=2ye^{x^2y}(2x^2y+1)

נגזור אותה לפי y ונקבל:

z''_{xy} (x,y)=e^{x^2y}\cdot x^2\cdot 2xy+e^{x^2y}\cdot 2x=

=2xe^{x^2y}(x^2y+1)

קיבלנו שהנגזרת לפי y היא

z'_y (x,y)=e^{x^2y}\cdot x^2

נגזור אותה לפי y ונקבל:

z''_{yy} (x,y)=x^2e^{x^2y}\cdot x^2=x^4e^{x^2y}

נגזור אותה לפי x ונקבל:

z''_{yx} (x,y)=e^{x^2y}\cdot 2xy\cdot x^2+e^{x^2y}\cdot 2x=

=2xe^{x^2y}(x^2y+1)

שימו לב שקיבלנו:

z''_{yx} (x,y)=z''_{xy}(x,y)

זה לא במקרה. בפונקציות רציפות וגזירות, סדר הגזירה אינו משנה. כלומר, מקבלים את אותה התוצאה כאשר גוזרים קודם לפי y ואז לפי x או קודם לפי x ואז לפי y.

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור.
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה