הרשמו לצפייה בדפי תרגילים פתורים

נגזרת חלקית – פונקציה עם ln ופונקציה מעריכית – תרגיל 3247

תרגיל 

חשבו את הנגזרות החלקיות של הפונקציה:

z(x,y)=\ln (x+y^2)+5^{xy^2}

תשובה סופית

z'_x (x,y)=\frac{1}{x+y^2}+y^2 \ln 5\cdot5^{xy^2}

z'_y (x,y)=\frac{2y}{x+y^2}+2xy\ln 5\cdot5^{xy^2}

פתרון מפורט

נחשב את הנגזרת החלקית לפי x. כשגוזרים לפי x, x הוא המשתנה ו-y נחשב לפרמטר. כעת מקבלים גזירה של משתנה אחד, ולכן אפשר להשתמש בנוסחאות גזירה של משתנה אחד. כך מקבלים:

z'_x (x,y)=\frac{1}{x+y^2}+5^{xy^2}\cdot \ln 5\cdot y^2=

=\frac{1}{x+y^2}+y^2 \ln 5\cdot5^{xy^2}

שימו לב שבאיבר השני נעזרנו בכלל ההרכבה (כלל שרשרת) מכללי הגזירה.

נחשב את הנגזרת החלקית לפי y. כשגוזרים לפי y, y הוא המשתנה ו-x נחשב לפרמטר. כעת מקבלים גזירה של משתנה אחד, ולכן אפשר להשתמש בנוסחאות גזירה של משתנה אחד. כך מקבלים:

z'_y (x,y)=\frac{1}{x+y^2}\cdot (2y)+5^{xy^2}\cdot \ln 5\cdot 2xy=

=\frac{2y}{x+y^2}+2xy\ln 5\cdot5^{xy^2}

שימו לב שנעזרנו בכלל ההרכבה (כלל שרשרת) מכללי הגזירה.


עזרתי לך להבין את החומר? מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? כתב/י תגובה למטה ואשמח לענות 🙂 

כדאי ללמוד ביחד - שתפו עכשיו

כתיבת תגובה