fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

נגזרת חלקית – פונקציה בחזקת פונקציה – תרגיל 3250

תרגיל 

חשבו את הנגזרות החלקיות של הפונקציה:

z(x,y)={(1+xy)}^y

תשובה סופית

z'_x (x,y)=y^2{(1+xy)}^{y-1}

z'_y (x,y)={(1+xy)}^y(\ln (1+xy)+\frac{xy}{1+xy})

פתרון

נחשב את הנגזרת החלקית לפי x. כשגוזרים לפי x, x הוא המשתנה ו-y נחשב לפרמטר. כעת מקבלים גזירה של משתנה אחד, ולכן אפשר להשתמש בנוסחאות גזירה של משתנה אחד. כך מקבלים:

z'_x (x,y)=y{(1+xy)}^{y-1}\cdot y=

=y^2{(1+xy)}^{y-1}

שימו לב שנעזרנו בכלל ההרכבה (כלל שרשרת) מכללי הגזירה.

נחשב את הנגזרת החלקית לפי y. נשים לב ש-y מופיע גם בבסיס וגם בחזקה, כלומר צריכים לגזור פונקציה בחזקת פונקציה. מכיוון שאין לנו נוסחה למצב כזה, ננסה לצאת ממנו בעזרת חוקי לוגריתמים. נפעיל ln משני צידי המשוואה של הפונקציה ונקבל:

\ln z(x,y)=\ln {(1+xy)}^y

מחוקי לוגריתמים נוכל להוריד את החזקה באגף הימני למכפלה כך:

\ln z(x,y)=y\cdot \ln (1+xy)

כעת, נגזור את שני האגפים לפי משתנה y. כשגוזרים לפי y, y הוא המשתנה ו-x נחשב לפרמטר. כעת מקבלים גזירה של משתנה אחד, ולכן אפשר להשתמש בנוסחאות גזירה של משתנה אחד. כך מקבלים:

\frac{1}{ z(x,y)}\cdot z_y(x,y)=\ln (1+xy)+y\cdot\frac{1}{1+xy}\cdot x

שימו לב שבשני האגפים נעזרנו בכלל ההרכבה (כלל שרשרת) ובאגף ימין נעזרנו גם בכלל המכפלה מכללי הגזירה.

נסדר את המשוואה:

\frac{z_y(x,y)}{ z(x,y)}=\ln (1+xy)+\frac{xy}{1+xy}

נעביר אגפים ונקבל את הנגזרת המבוקשת:

z_y(x,y) =z(x,y)(\ln (1+xy)+\frac{xy}{1+xy})

נציב את הפונקציה ונקבל:

z_y(x,y) ={(1+xy)}^y(\ln (1+xy)+\frac{xy}{1+xy})

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור. 
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה