fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

נגזרת חלקית – חישוב נגזרת מסדר שני לפונקציה עם שלמים בחזקות בשלושה משתנים – תרגיל 4333

תרגיל 

חשבו את הנגזרות החלקיות מסדר שני (נגזרת שנייה) של הפונקציה:

u(x,y,z)=2x^3y+x^2z^3

תשובה סופית

u''_{xx} (x,y,z)=12yx+2z^3

u''_{yy} (x,y,z)=0

u''_{zz} (x,y,z)=6x^2z

u''_{xy} (x,y,z)=u''_{yx} (x,y,z)=6x^2

u''_{yz} (x,y,z)=u''_{zy} (x,y,z)=0

u''_{xz} (x,y,z)=u''_{zx} (x,y,z)=6xz^2

פתרון

נחשב את הנגזרת החלקית לפי x. כשגוזרים לפי x, x הוא המשתנה ו-y,z נחשבים לפרמטרים. כעת מקבלים גזירה של משתנה אחד, ולכן אפשר להשתמש בנוסחאות גזירה של משתנה אחד. כך מקבלים:

u'_x (x,y,z)=6yx^2+2z^3x

נחשב את הנגזרת החלקית לפי y. כשגוזרים לפי y, y הוא המשתנה ו-x,z נחשבים לפרמטרים. כעת מקבלים גזירה של משתנה אחד, ולכן אפשר להשתמש בנוסחאות גזירה של משתנה אחד. כך מקבלים:

u'_y (x,y,z)=2x^3

נחשב את הנגזרת החלקית לפי z. כשגוזרים לפי z, z הוא המשתנה ו-x,y נחשבים לפרמטרים. כעת מקבלים גזירה של משתנה אחד, ולכן אפשר להשתמש בנוסחאות גזירה של משתנה אחד. כך מקבלים:

u'_z (x,y,z)=3x^2z^2

כעת, נחשב את הנגזרות מסדר שני. נגזרת שנייה היא פשוט נגזרת על הנגזרת, כלומר גוזרים לפי חוקי נגזרת את פונקציית הנגזרת.

קיבלנו שהנגזרת לפי x היא

u'_x (x,y,z)=6yx^2+2z^3x

נגזור אותה לפי x ונקבל:

u''_{xx} (x,y,z)=12yx+2z^3

נגזור אותה לפי y ונקבל:

u''_{xy} (x,y,z)=6x^2

נגזור אותה לפי z ונקבל:

u''_{xz} (x,y,z)=6xz^2

קיבלנו שהנגזרת לפי y היא

u'_y (x,y,z)=2x^3

נגזור אותה לפי x ונקבל:

u''_{yx} (x,y,z)=6x^2

נגזור אותה לפי y ונקבל:

u''_{yy} (x,y,z)=0

נגזור אותה לפי z ונקבל:

u''_{yz} (x,y,z)=0

קיבלנו שהנגזרת לפי z היא

u'_z (x,y,z)=3x^2z^2

נגזור אותה לפי x ונקבל:

u''_{zx} (x,y,z)=6xz^2

נגזור אותה לפי y ונקבל:

u''_{zy} (x,y,z)=0

נגזור אותה לפי z ונקבל:

u''_{zz} (x,y,z)=6x^2z

שימו לב שקיבלנו:

z''_{yx} (x,y,z)=z''_{xy}(x,y,z)

z''_{yz} (x,y,z)=z''_{zy}(x,y,z)

z''_{xz} (x,y,z)=z''_{zx}(x,y,z)

זה לא במקרה. בפונקציות רציפות וגזירות, סדר הגזירה אינו משנה. כלומר, מקבלים את אותה התוצאה כאשר גוזרים קודם לפי y ואז לפי x או קודם לפי x ואז לפי y.

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור.
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה