fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

אי-שוויונים – אי-שוויון עם log – תרגיל 5714

תרגיל 

פתרו את האי-שוויון:

\log_2 (x^2-2x)-3\leq 0

תשובה סופית

-2\leq x\leq 0 \text{  or  } 2<x\leq 4

פתרון

\log_2 (x^2-2x)-3\leq 0

נסדר לביטוי הדומה להגדרת לוגריתם:

\log_2 (x^2-2x)\leq 3

ומההגדרה מקבלים:

x^2-2x\leq 2^3

כמו כן, מכיוון שהביטוי בתוך הלוג תלוי ב-x, נדרוש שיתקיים:

x^2-2x>0

כי אחרת אין פתרון לאי-שוויון שקיבלנו.

נפתור את שני האי-שוויונים שקיבלנו ונחתוך את התוצאות שלהם (קשר “וגם”).

נפתור את האי-שוויון הראשון:

x^2-2x>0

x(x-2)>0

זהו אי-שוויון ריבועי, ששורשיו הם 0 ו-2.

המקדם של האיבר הריבועי (a) חיובי, ולכן הפרבולה (גרף המשוואה הריבועית) “מחייכת” (=בצורת קערה). מסימן האי-שוויון צריכים לבדוק עבור אלו x-ים הפרבולה חיובית, כלומר מעל ציר x. הפתרונות (=אפסים=שורשים) של המשוואה הריבועית הם 0 ו-2. מכאן, הגרף עובר בציר x בנקודות אלו, ולכן מקבלים שהפתרון של האי-שוויון הוא

x<0 \text{  or  } x>2

נפתור את האי-שוויון השני:

x^2-2x\leq 2^3

נעביר הכול לאגף אחד:

x^2-2x-8\leq 0

שוב קיבלנו אי-שוויון ריבועי. המקדם של האיבר הריבועי (a) חיובי, ולכן הפרבולה (גרף המשוואה הריבועית) “מחייכת” (=בצורת קערה). מסימן האי-שוויון צריכים לבדוק עבור אלו x-ים הפרבולה שלילית או שווה לאפס, כלומר מתחת לציר x או ממש על ציר x. נמצא את הפתרונות (=אפסים=שורשים) של המשוואה הריבועית בעזרת נוסחת השורשים. נציב את המקדמים בנוסחה:

x_{1,2}=\frac{2\pm \sqrt{{(-2)}^2-4\cdot 4\cdot (-8)}}{2\cdot 1}=

=\frac{2\pm \sqrt{36}}{2}=

=\frac{2\pm 6}{2}=

מכאן, קיבלנו את הפתרונות:

x_1=\frac{2+ 6}{2}=4

x_2=\frac{2- 6}{2}=-2

מכיוון שאנו מחפשים את התחום מתחת לציר x או ממש עליו והפרבולה “מחייכת”, מקבלים שפתרון האי-שוויון הוא

-2\leq x\leq 4

לסיום, נחתוך את שתי התוצאות (קשר “וגם”) ונקבל:

-2\leq x\leq 0 \text{  or  } 2<x\leq 4

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור.
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה