fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

רוצה 5 טיפים להצלחה בטוחה בחדו"א?

קיצון מקומי – סכום של פונקציות עם חזקות קבועות – תרגיל 6524

תרגיל 

מצאו את נקודות הקיצון (אקסטרמום) המקומיות של הפונקציה:

z(x,y)=x^2+xy+y^2+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}

תשובה סופית


(\frac{1}{\sqrt[3]{3}},\frac{1}{\sqrt[3]{3}})

פתרון

נתונה הפונקציה:

z(x,y)=x^2+xy+y^2+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}

נחשב את הנגזרות החלקיות ונשווה אותן לאפס:

z'_x(x,y)=2x+y-\frac{1}{x^2}=0

z'_y(x,y)=x+2y-\frac{1}{y^2}=0

קיבלנו מערכת משוואות:

2x+y-\frac{1}{x^2}=0

x+2y-\frac{1}{y^2}=0

נפתור אותה. נכפול את המשוואה הראשונה ב-x בריבוע ואת המשוואה השנייה ב-y בריבוע. נקבל:

2x^3+yx^2-1=0

xy^2+2y^3-1=0

נחסר את המשוואות:

2x^3+yx^2-1-xy^2-2y^3+1=0

2(x^3-y^3)+xy(x-y)=0

נפתח את הסוגריים בעזרת נוסחת כפל מקוצר:

2(x-y)(x^2+xy+y^2)+xy(x-y)=0

(x-y)(2x^2+2xy+2y^2+xy)=0

מקבלים שתי אפשרויות. אפשרות ראשונה,

2x^2+2xy+2y^2+xy=0

2x^2+3xy+2y^2=0

x^2+\frac{3}{2}xy+y^2=0

נעשה השלמה לריבוע:

{(x+\frac{3}{4}y)}^2+\frac{7}{16}y^2=0

קיבלנו סכום של שני איברים ריבועיים. לכן, הסכום חיובי ושווה לאפס רק בראשית, אבל נקודה זו אינה בתחום ההגדרה של הפונקציה. לכן, מאפשרות זו אין פתרון.

אפשרות שנייה:

x-y=0

x=y

נציב במשוואה הראשונה ונקבל:

2x+x-\frac{1}{x^2}=0

3x-\frac{1}{x^2}=0

\frac{3x^3-1}{x^2}=0

3x^3-1=0

3x^3=1

x^3=\frac{1}{3}

x=\frac{1}{\sqrt[3]{3}}

אבל x=y ומקבלים:

y=\frac{1}{\sqrt[3]{3}}

קיבלנו נקודה אחת מועמדת לקיצון – הנקודה:

(\frac{1}{\sqrt[3]{3}},\frac{1}{\sqrt[3]{3}})

נבדוק אם היא נקודת מינימום, מקסימום או אוכף. לשם כך, נחשב את הנגזרות השניות:

A=z''_{xx}(x,y)=2+\frac{2}{x^3}

B=z''_{yx}(x,y)=\frac{y}{xy}=1

C=z''_{yy}(x,y)=2+\frac{2}{y^3}

כעת, נחשב את סוג הנקודה לפי הנוסחה:

D=AC-B^2

נציב את הנגזרות בנוסחה:

D=(2+\frac{2}{x^3})\cdot (2+\frac{2}{y^3})-1^2

נציב את הנקודה ב-D ונקבל:

D(\frac{1}{\sqrt[3]{3}},\frac{1}{\sqrt[3]{3}})=(2+\frac{2}{{(\frac{1}{\sqrt[3]{3}})}^3})\cdot (2+\frac{2}{{(\frac{1}{\sqrt[3]{3}})}^3})-1^2=

=(2+6)\cdot (2+6)-1=

=8\cdot 8-1=

=63>0

קיבלנו ש-D חיובי בנקודה, ולכן נבדוק את A:

A(\frac{1}{\sqrt[3]{3}},\frac{1}{\sqrt[3]{3}})=2+\frac{2}{{(\frac{1}{\sqrt[3]{3}})}^3}=

=2+6=8>0

לכן, זו נקודת מינימום.

אפשר לחשב את ערך הפונקציה בנקודה:

z(\frac{1}{\sqrt[3]{3}},\frac{1}{\sqrt[3]{3}})=3^{\frac{4}{3}}

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור.
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

כדאי ללמוד ביחד - שתפו עכשיו

כתיבת תגובה

רוצה 5 טיפים להצלחה בטוחה בחדו"א?