תרגיל
מצאו את נקודות הקיצון (אקסטרמום) המקומיות של הפונקציה:
z(x,y)=x^2-(y-1)^2
תשובה סופית
פתרון מפורט
נתונה הפונקציה
z(x,y)=x^2-(y-1)^2
נחשב את הנגזרות החלקיות ונשווה אותן לאפס:
z'_x(x,y)=2x=0
z'_y(x,y)=-2(y-1)=0
קיבלנו מערכת משוואות:
2x=0
-2(y-1)=0
נפתור אותה. מהמשוואה הראשונה מקבלים:
x=0
ומהמשוואה השנייה מקבלים:
-2(y-1)=0
-2y+2=0
2=2y
1=y
קיבלנו נקודה אחת מועמדת לקיצון – הנקודה (0,1). נבדוק אם היא נקודת מינימום, מקסימום או אוכף. לשם כך, נחשב את הנגזרות השניות:
A=z''_{xx}(x,y)=2
B=z''_{xy}(x,y)=z''_yx(x,y)=0
C=z''_{yy}(x,y)=-2
כעת, נחשב את סוג הנקודה לפי הנוסחה:
D=AC-B^2
נציב את הנגזרות בנוסחה:
D=2\cdot (-2)-0^2=-4<0
קיבלנו D שלילי לכל x,y, בפרט בנקודה שמצאנו, כלומר מתקיים:
D(0,1)<0
מכאן הנקודה (0,1) היא נקודת אוכף.
עזרתי לך להבין את החומר? מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? כתב/י תגובה למטה ואשמח לענות 🙂
