fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

קיצון מקומי – פונקציה עם משתנים בבסיס וחזקות קבועות – תרגיל 3410

תרגיל 

מצאו את נקודות הקיצון (אקסטרמום) המקומיות של הפונקציה:

z(x,y)=x^2-(y-1)^2

תשובה סופית


(0,1)

פתרון

נתונה הפונקציה

z(x,y)=x^2-(y-1)^2

נחשב את הנגזרות החלקיות ונשווה אותן לאפס:

z'_x(x,y)=2x=0

z'_y(x,y)=-2(y-1)=0

קיבלנו מערכת משוואות:

2x=0

-2(y-1)=0

נפתור אותה. מהמשוואה הראשונה מקבלים:

x=0

ומהמשוואה השנייה מקבלים:

-2(y-1)=0

-2y+2=0

2=2y

1=y

קיבלנו נקודה אחת מועמדת לקיצון – הנקודה (0,1). נבדוק אם היא נקודת מינימום, מקסימום או אוכף. לשם כך, נחשב את הנגזרות השניות:

A=z''_{xx}(x,y)=2

B=z''_{xy}(x,y)=z''_yx(x,y)=0

C=z''_{yy}(x,y)=-2

כעת, נחשב את סוג הנקודה לפי הנוסחה:

D=AC-B^2

נציב את הנגזרות בנוסחה:

D=2\cdot (-2)-0^2=-4<0

קיבלנו D שלילי לכל x,y, בפרט בנקודה שמצאנו, כלומר מתקיים:

D(0,1)<0

מכאן הנקודה (0,1) היא נקודת אוכף.

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור.
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה