fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

רוצה 5 טיפים להצלחה בטוחה בחדו"א?

קיצון מקומי – פונקציה עם משתנים בבסיס וחזקות קבועות – תרגיל 3414

תרגיל 

מצאו את נקודות הקיצון (אקסטרמום) המקומיות של הפונקציה:

z(x,y)=x^2-xy+y^2-2x+y

תשובה סופית


(1,0)

פתרון

נתונה הפונקציה

z(x,y)=x^2-xy+y^2-2x+y

נחשב את הנגזרות החלקיות ונשווה אותן לאפס:

z'_x(x,y)=2x-y-2=0

z'_y(x,y)=-x+2y+1=0

קיבלנו מערכת משוואות:

2x-y-2=0

-x+2y+1=0

נפתור אותה. נסדר את המשוואות:

2x-y=2

-x+2y=-1

נכפול את המשוואה השנייה ב-2 ונקבל:

2x-y=2

-2x+4y=-2

נחבר את שתי המשוואות ונקבל:

3y=0

y=0

נציב y=0 במשוואה הראשונה ונקבל:

2x=2

x=1

קיבלנו נקודה אחת מועמדת לקיצון – הנקודה (1,0). נבדוק אם היא נקודת מינימום, מקסימום או אוכף. לשם כך, נחשב את הנגזרות השניות:

A=z''_{xx}(x,y)=2

B=z''_{xy}(x,y)=z''_yx(x,y)=-1

C=z''_{yy}(x,y)=2

כעת, נחשב את סוג הנקודה לפי הנוסחה:

D=AC-B^2

נציב את הנגזרות בנוסחה:

D=2\cdot 2-{(-1)}^2=4-1=3>0

קיבלנו D חיובי לכל x,y, בפרט בנקודה שמצאנו, כלומר מתקיים:

D(1,0)>0

לכן, נחשב את הערך של A בנקודה, אבל A חיובי בכל הנקודות, בפרט בנקודה שלנו:

A(1,0)=2>0

מכאן הנקודה (1,0) היא נקודת מינימום.

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור.
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

כדאי ללמוד ביחד - שתפו עכשיו

כתיבת תגובה

רוצה 5 טיפים להצלחה בטוחה בחדו"א?