תרגיל
מצאו את נקודות הקיצון (אקסטרמום) המקומיות של הפונקציה:
z(x,y)=x^2-xy+y^2-2x+y
תשובה סופית
פתרון מפורט
נתונה הפונקציה
z(x,y)=x^2-xy+y^2-2x+y
נחשב את הנגזרות החלקיות ונשווה אותן לאפס:
z'_x(x,y)=2x-y-2=0
z'_y(x,y)=-x+2y+1=0
קיבלנו מערכת משוואות:
2x-y-2=0
-x+2y+1=0
נפתור אותה. נסדר את המשוואות:
2x-y=2
-x+2y=-1
נכפול את המשוואה השנייה ב-2 ונקבל:
2x-y=2
-2x+4y=-2
נחבר את שתי המשוואות ונקבל:
3y=0
y=0
נציב y=0 במשוואה הראשונה ונקבל:
2x=2
x=1
קיבלנו נקודה אחת מועמדת לקיצון – הנקודה (1,0). נבדוק אם היא נקודת מינימום, מקסימום או אוכף. לשם כך, נחשב את הנגזרות השניות:
A=z''_{xx}(x,y)=2
B=z''_{xy}(x,y)=z''_yx(x,y)=-1
C=z''_{yy}(x,y)=2
כעת, נחשב את סוג הנקודה לפי הנוסחה:
D=AC-B^2
נציב את הנגזרות בנוסחה:
D=2\cdot 2-{(-1)}^2=4-1=3>0
קיבלנו D חיובי לכל x,y, בפרט בנקודה שמצאנו, כלומר מתקיים:
D(1,0)>0
לכן, נחשב את הערך של A בנקודה, אבל A חיובי בכל הנקודות, בפרט בנקודה שלנו:
A(1,0)=2>0
מכאן הנקודה (1,0) היא נקודת מינימום.
עזרתי לך להבין את החומר? מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? כתב/י תגובה למטה ואשמח לענות 🙂
