fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

קיצון מקומי – מכפלה של פונקציות עם e – תרגיל 6534

תרגיל 

מצאו את נקודות הקיצון (אקסטרמום) המקומיות של הפונקציה:

z(x,y)=e^{x-y}(x^2-2y^2)

תשובה סופית


(0,0),(-4,-2)

פתרון

נתונה הפונקציה:

z(x,y)=e^{x-y}(x^2-2y^2)

נחשב את הנגזרות החלקיות ונשווה אותן לאפס:

z'_x(x,y)=e^{x-y}(x^2-2y^2)+2xe^{x-y}=0

z'_y(x,y)=-e^{x-y}(x^2-2y^2)-4ye^{x-y}=0

קיבלנו מערכת משוואות:

e^{x-y}(x^2-2y^2)+2xe^{x-y}=0

-e^{x-y}(x^2-2y^2)-4ye^{x-y}=0

נסדר אותה:

e^{x-y}(x^2-2y^2+2x)=0

e^{x-y}(-4y-x^2+2y^2)=0

פונקציה מעריכית תמיד חיובית, ולכן מקבלים:

x^2-2y^2+2x=0

-4y-x^2+2y^2=0

נחבר את המשוואות ונקבל:

2x-4y=0

2x=4y

x=2y

נציב במשוואה הראשונה:

{(2y)}^2-2y^2+2\cdot 2y=0

4y^2-2y^2+4y=0

2y^2+4y=0

y^2+2y=0

y(y+2)=0

קיבלנו שתי אפשרויות. הראשונה,

y=0

השנייה,

y+2=0

y=-2

נציב y=0 במשוואה x=2y ונקבל:

x=2\cdot 0=0

קיבלנו נקודה חשודה:

(0,0)

נציב y=-2 במשוואה x=2y ונקבל:

x=2\cdot (-2)=-4

קיבלנו נקודה חשודה נוספת:

(-4,-2)

נבדוק אם הן נקודות מינימום, מקסימום או אוכף. לשם כך, נחשב את הנגזרות השניות:

A=z''_{xx}(x,y)=e^{x-y}(x^2-2y^2+2x)+e^{x-y}(2x+2)=

=e^{x-y}(x^2-2y^2+4x+2)

B=z''_{yx}(x,y)=-e^{x-y}(x^2-2y^2+2x)+e^{x-y}(-4y)=

=e^{x-y}(-4y-x^2+2y^2-2x)

C=z''_{yy}(x,y)=-e^{x-y}(-4y-x^2+2y^2)+e^{x-y}(-4+4y)=

=e^{x-y}(x^2-2y^2+8y-4)

כעת, נחשב את סוג הנקודה לפי הנוסחה:

D=AC-B^2

נציב את הנגזרות בנוסחה:

D=(e^{x-y}(x^2-2y^2+4x+2))\cdot (e^{x-y}(x^2-2y^2+8y-4))

-{(e^{x-y}(-4y-x^2+2y^2-2x))}^2

נציב את הנקודות ב-D ונקבל:

D(0,0)=(e^{0-0}(0^2-2\cdot 0^2+4\cdot 0+2))\cdot (e^{0-0}(0^2-2\cdot 0^2+8\cdot 0-4))

-{(e^{0-0}(-4\cdot 0-0^2+2\cdot 0^2-2\cdot 0))}^2=

=(1\cdot 2)\cdot (1\cdot (-4))-0^2=

=2\cdot (-4)=

=-8<0

מכאן, הנקודה (0,0) היא נקודת אוכף.

D(-4,-2)=(e^{-4-(-2)}({(-4)}^2-2\cdot (-2)^2+4\cdot (-4)+2))\cdot (e^{-4-(-2)}({(-4)}^2-2\cdot {(-2)}^2+8\cdot (-2)-4))

-{(e^{-4-(-2)}(-4\cdot (-2)-{(-4)}^2+2\cdot {(-2)}^2-2\cdot (-4)))}^2=

=(e^{-2}(16-8-16+2))\cdot (e^{-2}(16-8-16-4))-{(e^{-2}(8-16+8+8))}^2=

=(e^{-2}(-6))\cdot (e^{-2}(-12))-8{(e^{-2})}^2=

=72e^{-2}-8{(e^{-4})}>0

קיבלנו ש-D חיובי בנקודה, ולכן נבדוק את A:

A(-4,-2)=e^{-4-(-2)}({(-4)}^2-2\cdot (-2)^2+4\cdot (-4)+2)=

=e^{-2}(16-8-16+2)=

=-6e^{-2}<0

מכאן, הנקודה (2-,4-) היא נקודת מקסימום.

אפשר לחשב את ערך הפונקציה בנקודות:

z(0,0)=e^{0-0}(0^2-2\cdot 0^2)=0

z(-4,-2)=e^{-4-(-2)}({(-4)}^2-2\cdot {(-2)}^2)=

=e^{-2}(16-8)=

=\frac{8}{e^2}

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור.
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה